Bestimmen vom Rang von Matrizen

Question

Hallo liebe Mathe-Freunde!

Ich habe für die Uni folgende Aufgabe zu erledigen und bin ein bisschen überfordert - sie lautet folgendermaßen:

Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen aus ℝ^{nxn} wobei n größer oder gleich 2 sein soll.

A = (a_ij) , a_ij = ij

B = (b_ij) , b_ij = i + j

C = (c_ij) , c_ij= 1 - δ_ij

Ich weiß, wie die erste Matrize aussieht, nämlich: 

A = 

$$ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 & ... & n \\ 2 & 4 & ... & 2n \\ ... & ... & ... & ... \\ n & 2n & ... & { n }^{ 2 } \end{matrix} \end{pmatrix} $$

Ich habe mir dann gedacht, dass ich anhand des Gauß-Algorithmus und der ersten Zeile sämtliche anderen, folgenden Zeilen eliminieren kann - schließlich käme ich auf eine Matrix vom Rang 1 - Ist das sehr falsch? Des Weiteren ist die Determinante von A = 0, der Rang muss also kleiner gleich 3 sein.

Bei der B kam ich auf folgende Matrix:

B=

$$ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 2 & 3 & ... & n+1 \\ 3 & 4 & ... & n+2 \\ ... & ... & ... & ... \\ n+1 & n+1+2 & ... & { n }+1+n \end{matrix} \end{pmatrix} $$ 

Hier wird es schon komplizierter - ist meine Matrix überhaupt richtig dargestellt? Kann ich hier überhaupt noch Gauß anwenden?

Bei der C Matrix habe ich keinen Schimmer, ich weiß nur, dass δ_ij die Einheitsmatrix ist - wobei ich mich eben frage, wie ich denn " 1 - δ_ij" darstellen soll! Ich habe eine Idee, aber bin relativ unsicher, denn ich weiß, dass wenn i=j ist, δ_ij = 1 gilt - könnte meine C Matrix also einfach nur auf der Hauptdiagonalen immer ein "-1" stehen haben?

Ich brauche eure Hilfe!!

Vielen Dank schon einmal im Voraus - ich weiß, dass ihr mal wieder super antworten werdet!

F.M.

Answer 1

\(A\):

In \(A\) sind die Spalten 2 bis n Vielfache der ersten Spalte,

also ist Rang(\(A\))=1.

\(B\):

Seien \(S_1,\cdots,S_n\) die \(n\) Spalten von \(B\).

Dann gilt

\(S_n-S_{n-1}=(1,\cdots,1)^T,\;S_{n-1}-S_{n-2}=(1,\cdots,1)^T,\; ...\)

\(S_2-S_1=(1,\cdots,1)^T\).

Die umgeformte Matrix hat also nur noch die beiden linear unabhängigen

Spalten \((2,3,\cdots,n+1)^T,\; (1,1,\cdots,1)^T\), also Rang(\(B\))=2.

\(C\):

Seien \(e_i\) die Standardeinheitsvektoren und die \(S_j\)

wieder die Spalten von \(C\), dann ist offenbar

\(e_i=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^nS_j\; -\; S_i\).

Daher hat \(C\) den Rang \(n\).