Question

Seien A, B ∈ R4×4, beide vom Rang 1.(a) Zeigen Sie, dass die Summe A + B Rang 0, 1 oder 2 haben kann, indem Sie jeweils ein Beispiel angeben. (b) Zeigen Sie, dass der Rang der Summe A + B nicht größer als 2 sein kann.

Answer 1

A =

1   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0

B=

-1   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0

Summe hat rang 0

B=

1   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0

Summe hat rang 1

B= 

0   1    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0
0   0    0    0

Summe hat rang 2b)  A hat rang 1   ==> 

Es gibt eine Spalte in A, die nicht 0 ista
b
c
d

von der die anderen Spalten

alle Vielfache sind, also alle von der Art

xa
xb
xc
xd

Entsprechend für B  gibt es eine Spalte etwa

e
f
g
h


von der die anderen Spalten

alle Vielfache sind, also alle von der Art

ye
yf
yg
yh

Dann sind die Spalten von A+B alle von der Art

xa+ye                        a                      e
xb+yf      =      x *      b       +   y *      f
xc+yg                        c                      g
xd+yh                        d                     h

Also sind alle Spalten von A+B durch die Spalten

a
b
c
d

und

e
f
g
hals Linearkombinationen darstellbar.  Also ist

die Dimension des von den Spalten von A+B

erzeugten Raumes ≤ 2 , also rang(A+B) ≤ 2.