Stereometrie: Winkel Alpha, Beta und Gamma im Quader bestimmen.

Question

 Bestimmen Sie im Quader die Winkel Alpha, Beta und Gamma.

Ich habe zunächst mit dem Satz des Pythagoras die Dreiecksseiten berechnet. Nun weiss ich nicht was der nächste Schritt wäre. Ich habe es mit dem Kathetensatz probiert, aber das ist eine Sackgasse hier.

 

Ich danke euch schon im Voraus für eure Antwort.

Answer 1

Ich bezeichne die Seiten im Dreieck als a, b, c. Dabei liegt a gegenüber von alpha, b gegenüber von beta, usw.

Dann gilt mit dem Kosinussatz:
c^2 = a^2 + b^2 -2ab cos(γ)

Gamma ist also:
γ = arccos{ (a^2 +b^2 -c^2) / (2ab) }

Du musst jetzt nur noch a, b, c und die Winkel tauschen und kannst so alle Winkel berechnen.

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c = sqrt(130)
b = sqrt(65)
a = sqrt(97)

γ = arccos{ (a² +b² -c²) / (2ab) } = 78,38°
β = arccos{ (a² +c² -b²) / (2ac) } = 43,84°
α = arccos{ (b² +c² -a²) / (2bc) } = 57,78°

Answer 2

Länge der Strecke AB:\( \sqrt{9^2+7^2}=\sqrt{130} \)

Länge der Strecke BC:\( \sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97} \)

Länge der Strecke AC:\( \sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65} \)

Koordinaten von B:\((\sqrt{130}|0)\)

Koordinaten von C:

Kreis um B mit \(r=\sqrt{97}\):

\((x-\sqrt{130})^2+y^2=97\)

Kreis um A mit \(r=\sqrt{65}\):

\(x^2+y^2=65\) →\(y^2=65-x^2\):

\((x-\sqrt{130})^2+65-x^2=97\)

\((x-\sqrt{130})^2-x^2=32\)

\(x=\frac{49}{\sqrt{130}} \)    nur der positive Wert

\(y^2=65-(\frac{49}{\sqrt{130}})^2=\frac{6049}{130}\) 

\(y=\sqrt{\frac{6049}{130}}=\frac{\sqrt{786370}}{130}\) nur der positive Wert

Steigung der Geraden durch A und C:

\(tan(α)=\frac{\frac{\sqrt{786370}}{130}}{\frac{49}{\sqrt{130}}}=\frac{\sqrt{6049}}{49}\)

\( α=\tan^{-1}(\frac{\sqrt{6049}}{49})=57,79°\)

Winkel  β analog zu berechnen. Dann noch γ ausrechnen . Winkelsumme ist \(180°\)

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Dieser Lösungsweg ist ein argumentatives Desaster.