Zeigen Sie, dass für eine konvergente Reihe mit nicht verschwindenden Folgegliedern die Reihe divergiert.

Question

Aufgabe:

(i) Zeigen Sie, dass für eine konvergente Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) mit nicht verschwindenden Folgegliedern ( \( a_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) ) die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} \) divergiert.

(ii) Folgt umgekehrt aus der Divergenz der Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} \) die Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} ? \) Begründen Sie Ihre Aussage.

Comments

(ii) Wähle \(a_n=n+1\).

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Aber ist die. Reihe 1/(n+1) nicht konvergent ?

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Das ist die sog. harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Man kann zeigen, dass die Folge der zugehörigen Partialsummen nach oben nicht beschränkt ist.

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Da die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty (n+1)\) offensichtlich divergiert, ist die Aussage (ii) falsch.

Da die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) konvergent ist, ist insbesondere die Folge \(\{a_n\}_{n\ge0}\) eine Nullfolge. Daher ist die Folge der Kehrwerte \(\left\{\frac1{a_n}\right\}_{n\ge0}\) nicht beschränkt und somit keine Nullfolge.