Parameterschätzung mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode

Question

Aufgabe:

Die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen \( X \) sei gegeben durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \alpha x^{-\alpha-1} & x \geq 1 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Dabei ist \( \alpha>1 \) ein Parameter.

a) Bestimmen Sie den Erwartungswert \( E(X) \)

b) Bestimmen Sie den Schätzer \( \hat{\alpha} \) nach der Methode der Momente.

c) Bestimmen Sie den Schätzer \( \hat{\alpha} \) nach der Maximum-Likelihood-Methode.

d) Bestimmen Sie beide Schätzwerte, wenn Ihnen die folgenden Daten gegeben sind: 1.93, 1.03, 1.34, 1.06, 1.13, 5.05

Ansatz/Problem:

Aufgabe a) konnte ich lösen. Aufgabe b) scheint mir auch einfach zu sein.

Das Vorgehen für Aufgabe c) ist mir eigentlich klar:

Zunächst ersetze ich das x in der Funktion durch x₁ dann durch x_{2 ...}bis x_n Das Ganze multipliziere ich dann miteinander. Für die Aufgabe sieht das so aus:

(αx₁^-α-1)*(αx₂^-α-1)*...*(αx_n^-α-1)

Dann fasse ich das Ganze zusammen, logarithmiere es, leite es ab und stelle es nach dem gesuchten Paramter um. Klingt in der Theorie ja ganz simple, nur mit dem Zusammenfassen habe ich Probleme. Da ich hier keine konkreten Werte gegeben habe, muss ich ja zwangsläufig bis x_n zählen, d.h. doch ich fasse das Ganze mit Hilfe des Summenzeichens zusammen, richtig? Gibt es ein Vorgehen, welches mir das Zusammenfassen erleichtert? Ich habe Probleme damit, die obigen Terme zusammenzufassen. Mir würde nur einfallen, das α mit αⁿ zusammenzufassen.

Answer 1

zuerts habe ich mal festgestellt, das f(x) eine Dichte ist, dass stimmt.
Der Erwartungswert ist $$ E(x) = \frac{\alpha}{\alpha-1} $$
Nach der Momentenmethode ergibt sich das erste Moment $$ M_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{\alpha}{\alpha-1} $$ also
$$  \alpha=\frac{M_1}{M_1-1 } = = 2.083 $$
Die Maximum-Likelihood Methode liefert
$$ L(\alpha)=\sum_{i=n}^n ln\left( \alpha x_i^{-(\alpha+1)} \right) = nln(\alpha)-(\alpha+1)\sum_{i=n}^n ln(x_i) $$
Diese Funktion muss bzgl. des Parameters \( \alpha \) minimiert werden. Daraus folgt
$$ \alpha=\frac{n}{\sum_{i=n}^n ln(x_i)}=2.159  $$

Comments

Kannst du vielleicht noch mal aufschreiben wie du auf E(x) gekommen ist? Man muss ja die Dichtefunktion mit x multiplizieren und davon das integral von 1 bis ∞ bilden. Dafür habe ich die partielle Integration verwendet und u= x^{-a-1} und v'=x*a gesetzt. Nur hat das nicht wirklich hingehauen...

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Hi,
$$  E(x)=\int_{-\infty}^\infty xf(x) dx $$ und das ist
$$  E(x)=\alpha\int_{-\infty}^\infty x^{-\alpha} dx $$ und dafür kann man sofort eine Stammfunktion angegebn, nämlich
$$  E(x)=\alpha \frac{1}{1-\alpha}\left[ x^{1-\alpha}\right]_1^\infty=\frac{\alpha}{\alpha-1} $$
weil \( \alpha > 1\) gilt.

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So ganz verstanden habe ich es noch nicht. Wenn ich  $$E(X)=a\int _{ 1 }^{ \infty  }{ { x }^{ -a }dx } $$ integriere erhalte ich: 

$$\left[ \frac { { x }^{ -a+1 } }{ -a+1 }  \right] $$ und muss dann die Integrationsgrenzen einsetzen. Wie aber setze ich denn unendlich ein? Würde keine Konstante mehr vorhanden sein, hätte ich jetzt einfach eine große Zahl für unendlich eingesetzt :-)

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Hi,
berechnen musst Du den Grenzwert
$$ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{\alpha-1}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^{(\alpha-1)ln(x)}} $$
Jetzt ist \( \alpha-1>0 \) und der natürliche Logarithmus geht gegen \( \infty \) für \( x \to \infty \) Da \( \alpha - 1 > 0  \) ist, geht auch \( e^{(\alpha-1)ln(x)} \) gegen \( \infty \) und damit ist $$ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{\alpha-1}} = 0 $$
Man sieht auch, das die Forderung \( \alpha > 1 \) notwendig ist, da sonst der Exponent nicht positiv ist und damit \( e^{(\alpha-1)ln(x)} \) nicht gegen \( \infty \) gehen würde.