Question

Der Funktionsterm fa(x) = x² -ax + 3a mit a element R beschreibt eine Schar quadratischer Funktionen fa und der Funktionsterm p(x) = 6x -x²  beschreibt die quadratische Funktion p.

1. Berechnen Sie die Scheitelkoordinaten des Graphen der Funktion fa in Abhängigkeit von a.

2. Für bestimmte Werte von a haben die Graphen von fa keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. Bestimmen Sie diese Werte von a.

3. Zeigen Sie: Alle Scharkurven zu fa haben den Punkt P(3;9) gemeinsam.

4. Bestimmen Sie die Zahl a, für welche sich die Parabel aus der Schar fa und die Parabel der Funktion p berühren. Berechnen Sie auch den Büschelpunkt.

5. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von fa und p in Abhängigkeit von a.

Answer 1

fa(x) = x² -ax + 3a

1. Berechnen Sie die Scheitelkoordinaten des Graphen der Funktion fa in Abhängigkeit von a.

x^2 - ax +(1/4)a^2 - (1/4)a^2  +3a = (x-a/2)^2 +3a-(1/4)a^2

also S ( a/2 / 3a-(1/4)a^2 )

2. Für bestimmte Werte von a haben die Graphen von fa keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. Bestimmen Sie diese Werte von a.

also y-Wert vom Scheitelpositiv     3a-(1/4)a^2 > 0

a( 3-(1/4)a ) > 0

a > 0 und   ( 3-(1/4)a ) > 0 also     a>0 und a<12

oder           a<0 und ( 3-(1/4)a ) < 0 also     a<0 und a<12 geht nicht, also nur

a>0 und a<12

3. Zeigen Sie: Alle Scharkurven zu fa haben den Punkt P(3;9) gemeinsam.

x=3 einsetzen:   fa(3) = 9 -a*3 + 3a = 9 Bingo!

4. Bestimmen Sie die Zahl a, für welche sich die Parabel aus der Schar fa und die Parabel der Funktion p berühren. Berechnen Sie auch den Büschelpunkt.

berühren heißt gemeinsamer punkt und dort gleiche Steigung

fa ' (x) =  2x -a     und p ( x) = 6 -2x  ist gleich für 2x-a = 6-2x

4x = 6+a

also x = (6+a) / 4

für dieses x muss auch fa(x) = p(x) sein

-3/16a^2 + 9a/4 + 9/4 = -a^2 / 16 + 3a/4 + 27/4

gibt a = 6    Büschelpunkt ( 3 / 9)   Schau an ! Teil 3

5. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von fa und p in Abhängigkeit von a.
fa(x) = p(x)
gibt x=a/2 oder x=3