Oberstufe 12 Stochastik: Erwartungswert einer Zufallsgröße

Question

Hallo. Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

a.) Betrachte das Werfen eines regulären Oktaeders. Wie groß ist der Erwartungswert der Augenzahlen?

b.) In einer Urne sind gleichartige Kugeln, welche die Nummern 1,2,3,...m tragen. Wie groß ist der Erwartungswert der Nummer einer zufälligen gezogenen Kugel?

Answer 1

a) Oktaeder

Jede der 8 Seiten wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/8 geworfen; damit beträgt der Erwartungswert

E(X) = 1/8 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 1/8 * 36 = 4,5

b) Kugeln

Gleiches Vorgehen: Jeder der m Kugeln wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/m gezogen; damit beträgt der Erwartungswert E(X) = 1/m * (1 + 2 + 3 + ... + m) = 1/m * (m + 1) * m/2 = 1/2 * (m + 1)

Kleine "Plausibilitätskontrolle":

2 Kugeln, E(X) = 1/2 * (2 + 1) = 1,5

3 Kugeln, E(X) = 1/2 * (3 + 1) = 2

4 Kugeln, E(X) = 1/2 * (4 + 1) = 2,5

etc.

Besten Gruß

Comments

zu b): Soweit verstehe ich es: E(X)=1*1/m + 2*1/m + 3*1/m +...+ m*1/m=1/m*(1+2+3+...+m)
Aber ich verstehe nicht, wie du auf =1/m*(m+1)*m/2=1/2*(m+1) kommst?

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Alter Trick von Gauß :-D

Wenn ich eine Reihe

1 + 2 + 3 + 4 + ... + (m - 1) + m

habe, kann ich daraus ja Summenpaare bilden:

1 + m | 2 + (m - 1) | 3 + (m - 2) etc.

Diese Paare haben alle denselben Wert.

Und wieviele Paare kann ich bilden?

m/2

Also haben wir insgesamt

m/2 Paare mit jeweils dem Wert (m + 1)

Also

m/2 * (m + 1)

Und das noch mit 1/m multipliziert

1/m * m/2 * (m + 1) =

1/2 * (m + 1)

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Sorry, dass ich dir nicht folgen kann. :/

1+2+3+4+...+(m-1)+m: also wenn ich 8 Kugeln habe und ich es in die Formel (m-1)+m einsetze, dann bekomme ich ja das raus: (8-1)+8=15

Was hat das m/2 auf sich?????

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Wenn Du m = 8 Kugeln hast und jede würde einmal gezogen und die Zahl notiert, kämst Du auf eine Summe von

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

Also hättest Du bei 8 Ziehungen insgesamt eine Punktzahl von 36 erreicht, damit pro Ziehung im Schnitt

36/8 = 4,5

was dem Erwartungswert entspricht.

Um auf die Summe 36 zu kommen, könnte ich aber auch schreiben

(1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5)

Wir haben 4 (= 8/2 = m/2) Paare jeweils mit der Summe 9 (= 8 +1 = m + 1) , und 4 * 9 = 36.

Also haben wir gerechnet

m/2 * (m + 1) = 4 * 9

Das müssen wir dann noch durch die Anzahl der Ziehungen dividieren (8 = m) und kommen damit auf den Erwartungswert

E(X) = m/2 * (m + 1) / m = 4 * 9 / 8 = 4,5

Angeblich sollte Gauß als Schüler die Zahlen 1 bis 100 aufaddieren und dachte sich: Da bilde ich einfach

50 (=100/2) Paare mit dem Wert 101 - nämlich (1 + 100), (2 + 99) etc.

So kam er sehr schnell auf 50 * 101 = 5050

:-D

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Ok prima, dankeschön. Schöne Erklärung :)))

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Freut mich, wenn ich helfen konnte!

Danke für den Stern :-D

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Kannst du mir auch bei der nächsten Frage helfen? :)

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https://www.mathelounge.de/189304/oberstufe-stochastik-erwartungswert-einer-zufallsgrosse

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Gerne, ich mach mich sofort ran :-D

Answer 2

Oktaeder hat 8 gleichwahrscheinliche Ergebnisse 1 bis 8
jedes mit der Wahrscheinlichkeit 1/8
also Erwartungswert   1/8 * /1+2+3+4+5+6+7+8) = 4,5

es gibt m verschiedene Ergebnisse 1,2,...,m alle gleichwahrscheinlich
also je p= 1/m

E = (1/m) * (1+2+3+....+m) = (1/m)* m*(m+1)/2  =  (m+1)/2

Comments

Wie kommst du auf:  (1/m)* m*(m+1)/2  =  (m+1)/2   ?

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es gibt m verschiedene Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich

sind, also p= 1/m

und m(m+1) / 2 ist das Ergebnis von 1+2+3+4+....+m

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p=1/m hab ich verstanden.

Aber was meinst du mit m(m+1)/2???

Nehmen wir an ich habe 8 Kugeln und das dann in die Formel einsetze: 8(8+1)/2=36/2=18

Das soll ja angeblich P(X=a) sein oder nicht???

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Aber was meinst du mit m(m+1)/2???

Nehmen wir an ich habe 8 Kugeln und das dann in die Formel einsetze: 8(8+1)/2=72/2=36

und wenn du 1+2+3+4+5+6+7+8 ausrechnest, gibt es auch 36

Das soll ja angeblich P(X=a) sein oder nicht???    nein!

das ist die Summe der Zahlen von 1 bis m

und da jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1/m kommt, müsste man

eigentlich rechnen

(1/m)*1 + (1/m)*2 + (1/m)*3 + .............+ (1/m)*m

und wenn man 1/m ausklammert

(1/m) * (1+2+3+....+m) und wenn man jetzt die Formel benutzt gibt das

(1/m) * m*(m+1)/2  und jetzt kürzen und ausrechnen, dann hast du

(m+1)/2 als Erwartungswert.