Wenn Du m = 8 Kugeln hast und jede würde einmal gezogen und die Zahl notiert, kämst Du auf eine Summe von
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
Also hättest Du bei 8 Ziehungen insgesamt eine Punktzahl von 36 erreicht, damit pro Ziehung im Schnitt
36/8 = 4,5
was dem Erwartungswert entspricht.
Um auf die Summe 36 zu kommen, könnte ich aber auch schreiben
(1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5)
Wir haben 4 (= 8/2 = m/2) Paare jeweils mit der Summe 9 (= 8 +1 = m + 1) , und 4 * 9 = 36.
Also haben wir gerechnet
m/2 * (m + 1) = 4 * 9
Das müssen wir dann noch durch die Anzahl der Ziehungen dividieren (8 = m) und kommen damit auf den Erwartungswert
E(X) = m/2 * (m + 1) / m = 4 * 9 / 8 = 4,5
Angeblich sollte Gauß als Schüler die Zahlen 1 bis 100 aufaddieren und dachte sich: Da bilde ich einfach
50 (=100/2) Paare mit dem Wert 101 - nämlich (1 + 100), (2 + 99) etc.
So kam er sehr schnell auf 50 * 101 = 5050
:-D