Überprüfen Sie, welche der folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind.

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, welche der folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind. Weisen Sie dazu alle Eigenschaften einer linearen Abbildung nach bzw. zeigen, dass mindestens eine davon nicht erfullt ist.

(a) \( F_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}x+y \\ x\end{array}\right] \)

(b) \( F_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}x+1 \\ 2 y \\ x+y\end{array}\right] \)

(c) \( F_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \mapsto 2 x-3 y+4 z \)

(d) \( F_{4}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}|x| \\ 0\end{array}\right] \)

Answer 1

fängst du einfach an mit dem Nachweisen:

z.B. bei a)
nimm allgemein zwei Elemente von R^2 etwa  (a,b) und (c,d)
f(a,b)=(a+b,a)    f(c,d) = (c+d,c)
f( (a,b)+(c,d)) = f( a+c, b+d) = ( a+c+b+d , a+c)  und vergleiche mit
f(a,b) +   f(c,d) =      (a+b,a)    + (c+d,c)  
wegen der üblichen Gesetze (Kommutativ, assotiativ etc. sind die Ergebnisse gleich,
also ist    f((a,b)+(c,d)) = f( (a,b)+f(c,d))
ähnlich ist es mit f(  x*(a,b) ) = x* f(a,b)

also ist f linear.

bei b klappt es nicht :  rechne aus  f(1,2) und f(2,3) und vergleiche mit f(3,5)
und du siehst: passt nicht.

bei c klappt wieder alles und bei d klappt es nicht z.B. bei  f(1,2,3) und f(-1,2,3)