UberprüfenSie,welche der folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind.

Question

Überprüfen Sie, welche der folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind. Weisen Sie dazu alle Eigenschaften einer linearen Abbildung nach bzw. zeigen, dass mindestens eine davon nicht erfüllt ist.

(a) \( F_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}x+y \\ x\end{array}\right] \)

(b) \( F_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}x+1 \\ 2 y \\ x+y\end{array}\right] \)

(c) \( F_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \mapsto 2 x-3 y+4 z \)

(d) \( F_{4}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}|x| \\ 0\end{array}\right] \)

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung#Definition

Das müsstet ihr aber schon kennen gelernt haben. Einfach überprüfen. Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft nicht erfüllt ist reicht ein Gegenbeispiel.

Answer 1

fängst du einfach an mit dem Nachweisen:

z.B. bei a)
nimm allgemein zwei Elemente von R² etwa  (a,b) und (c,d)
f(a,b)=(a+b,a)    f(c,d) = (c+d,c)
f( (a,b)+(c,d)) = f( a+c, b+d) = ( a+c+b+d , a+c)  und vergleiche mit
f(a,b) +   f(c,d) =      (a+b,a)    + (c+d,c)  
wegen der üblichen Gesetze (Kommutativ, assotiativ etc. sind die Ergebnisse gleich,
also ist    f((a,b)+(c,d)) = f( (a,b)+f(c,d))
ähnlich ist es mit f(  x*(a,b) ) = x* f(a,b)

also ist f linear.

bei b klappt es nicht :  rechne aus  f(1,2) und f(2,3) und vergleiche mit f(3,5)
und du siehst: passt nicht.

bei c klappt wieder alles und bei d klappt es nicht z.B. bei  f(1,2,3) und f(-1,2,3)