Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und berechnen Sie deren Summe

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Reihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k}{(k+1)(k+2)} \)

konvergiert und berechnen Sie deren Summe.

Hinweis. Sie dürfen benutzen, dass die Summe der alternierenden harmonischen Reihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\log 2 \)

ist.

Answer 1

Partialbruchzerlegung gibt

(-1)^k * k /  ((k+1)(k+2)) =  (-1)^k / (k+1)  +   -2*(-1)^k / (k+2)

also machst du daraus zwei Summen (konvergieren ja beide)

und hast bei der ersten das gleiche wie die alt. harm Reihe

ohne den ersten Summanden also ln(2) - 1

bei der zweiten ziehst du die 2 (ohne minus) raus und

hast dann 2* alt.harm.Reihe ohne die ersten beiden Summanden

also 2 * (ln(2) - 1 + 1/2 ) = 2ln(2) -1

also für die gesamte Summe ln(2) - 1  + 2ln(2) -1 = 3ln(2)-2

Comments

Partialbruchzerlegung war das richtige Wort, aber bei k/((k+1)(k+2))  ergibt das   

2/(2+k) -1/(1+k) 

deshalb kommt 2-log(8) heraus.

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ich hatte die Vorzeichen genau andersherum
und das war falsch.
Alles klar !
Deshalb stimmt auch im Ergebnis das VZ nicht.