Zeigen sie: Wenn für eine Folge (a_n)_n in R die Reihe Σ _ { n = 0 } ^ { ∞ } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies …

Question

Aufgabe:

Zeigen sie: Wenn für eine Folge \((a_n)_n\) in R die Reihe \(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } |\) konvergiert, so gilt dies auch für \(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a^2 _ { n }\)

Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Mir ist zwar bewusst, wann eine Reihe konvertiert, allerdings weiß ich nicht, wie ich dass dass hier beweisen soll.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie: Wenn für eine Folge (a_n)_n in R die Reihe Σ _ { n = 0 } ^ { ∞ } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies …

Stichworte: konvergenz,reihen,grenzwert,folge,summe

Aufgabe:

Zeigen sie: Wenn für eine Folge (a_n)_n in R die Reihe \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } | konvergiert, so gilt dies auch für \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a2 _ { n }




Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Mir ist zwar bewusst, wann eine Reihe konvertiert, allerdings weiß ich nicht, wie ich dass dass hier beweisen soll.

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Frage und Antwort findest du nun in der mathelounge (gleiches Login): https://www.mathelounge.de/900858/zeigen-sie-wenn-eine-folge-an-die-reihe-konvergiert-gilt-dies Frohe Festtage

Answer 1

Wenn die Reihe \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,\lvert a_n\rvert\)  konvergiert, dann ist insbesondere die Folge \(\lbrace\lvert a_n\lvert\rbrace\) eine Nullfolge. Es existiert also ein \(N\in\mathbb N\) mit \(\lvert a_n\rvert<1\) für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge N\). Es folgt$$\sum_{n=N}^\infty a_n^2=\sum_{n=N}^\infty\,\lvert a_n\rvert\cdot\lvert a_n\rvert\le\sum_{n=N}^\infty1\cdot\lvert a_n\rvert.$$Damit hat man eine konvergente Majorante.

Comments

Hey, danke für deine Hilfe. Warum ist die Folge { |a_n|} genau eine Nullfolge?

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Es gilt allgemein für konvergente Reihen, dass die Summanden eine Nullfolge bilden. Da die Reihe ∑ |a_n| nach Voraussetzung konvergent ist, muss also {|a_n|} eine Nullfolge sein.
Siehe dazu auch Trivialkriterium oder Divergenzkriterium.

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Achso OK, danke.

Könntest du vielleicht den zweiten Teil ab "Es existiert also ein ..." Inklusive der Folgerung etwas genauer (ggf. Mit mehr schritten) erklären? Verstehe nicht so ganz, was du meinst.

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Dazu greift man auf die unmittelbare Definition für Folgenkonvergenz zurück:

a ist Grenzwert einer Folge a_n, falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so dass |a_n - a| < ε für alle n ≥ N ist.

Hier ist a = 0. Wähle ε = 1. Dann ist |a_n| < 1 für alle hinreichend große n.

Answer 2

Wenn \(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | a _ { n } |\) konvergiert, dann ist \((|a_n|)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge und somit ist \(|a_n| < 1\) für alle bis auf endlich viele \(n\in\mathbb{N}\).

Ist \(|a_n| < 1\), dann ist \(0\leq a_n^2 \leq |a_n|\).