Konvergiert die Reihe?

Question

Aufgabe: Moin Leute! Kann mir jemand hier weiterhelfen. Den Ansatz habe ich schon komme leider nicht weiter.

Vielen dank schon mal

Konvergiert die Reihe?

Problem/Ansatz:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \)(k/k+1)^k^2

mit quotientenkriterium: (\( \frac{\frac{k+1}{k+2}}{\frac{k}{k+1}} \))²

=(\( \frac{k+1•k+1}{k+2•k} \))^(2k) = (((\( \frac{(k+1)•(k+1)}{(k+2)•k} \))^k)²

Answer 1

Da fehlt mindestens ein Klammernpaar.

Deshalb wage ich auch keine Prognose, ob deine vorhandene Klammer hoch k genommen wird und das dabei entstandene Ergebnis nochmal quadriert wird, oder ob die Klammer hoch (k²) genommen wird. Kläre das erst einmal.

Answer 2

Hallo,

für die Reihe \(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}}_{=:a_k}\) bietet sich das Wurzelkriterium an:$$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{-k}=\frac{1}{e}<1$$ Das zeigt die (absolute) Konvergenz im Sinne des Wurzelkriteriums.