Für welche Wahl des Parameters a ist die Funktion bei x=2 stetig?

Question

(Entschuldigt bitte die hässliche Darstellung, leider weiss ich nicht, wie man abschnittsweise definierte Funktionen in Latex darstellen kann. f(x) soll also eine abschnittsweise definierte Funktion sein.)

$$f(x) = x^2+x-6, \quad für \quad x \leq 2$$$$ =-x^2+bx+a, \quad für \quad x>2$$

a) Für welche Wahl des Parameters a (in Abhängigkeit von b) ist die Funktion bei x=2 stetig?

b) Gibt es Parameter a und b, so dass f bei x= 2 stetig und differenzierbar ist?

Ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Zwar weiss ich, dass an einer Stelle x₀ stetige Funktionen die folgende Eigenschaft erfüllen: $$ \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0) $$

Ich hätte jetzt also die zwei Gleichung gegen 2 streben lassen, doch diese gilt ja nur für x > 2. Folglich bin ich unschlüssig.

Answer 1

x^2 + x - 6 = -x^2 + bx + a
4 + 2 - 6 = -4 + b*2 + a
a + 2b = 4
a = 4 - 2b
Dann ist Stetigkeit vorhanden

( x^2 + x + 6 )
2 * x + 1
für x = 2
5

5 = ( -x^2 + bx + a ) ´
5 = -2x + b
5 = -2*2 + b
b = 9

a = 4 - 2*9 = -14
für ( a = -14 ) und ( b = 9 ) ist auch die Differenzierbarkeit gegeben.

Comments

besten Dank für Deine Antwort!

a) Du setzt also die beiden Gleichungen einfach gleich und setzt dann x=2. Darf ich fragen, aus welchem Grund Du dies tust oder unter welcher Überlegung? So erhalte ich doch sozusagen den Schnittpunkt beider Funktionen an der Stelle x=2.

b) Du leitest also zunächst obere Funktion ab (ich nehme an, Du meintest -6 und nicht 6). Dann setzt Du 2 ein. So erhältst Du ja quasi die Steigung an der Stelle 2. Aus welchem Grund setzt Du dann bitte die erhaltene Steigung mit der unteren Funktion gleich?

Es sieht irgendwie schlüssig aus und doch weigert sich mein Gehirn noch diese Schlüssigkeit zu akzeptieren. ;-(

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Vielleicht hätte ich zuerst die allgemeine Begründung anführen sollen

ich nenne einmal  die Funktion g für x ≤ 2
und h für x > 2

Stetigkeit ist definiert

g ( x ) = h ( x )
g ( 2 ) = h ( 2 )

Differenzierbarkeit ist definiert

g ( x ) = h ( x )
g ´ ( x )  = h ´ ( x )

( Mathematisch ist dies nicht ganz genau. Man müßte noch den
Grenzwert bemühen ).

Nachweis Stetigkeit
g ( x ) = h ( x )
x² + x - 6 = -x² + bx + a   ( siehe oben )

Nachweis Differenzierbarkeit
1.Ableitung bilden von g ( x )
und die Steigung für x = 2 berechnen
( x² + x + 6 )  ´
2 * x + 1
für x = 2
g ´( 2 ) = 5

h ( 2 ) soll dieselbe Steigung haben
5 = ( -x² + bx + a ) ´
5 = -2x + b
5 = -2*2 + b
b = 9

a = 4 - 2b
a = -14

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Hier noch der Graph.
Blau geht bei x = 2 in rot über.
Die Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist gegeben.

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Jetzt ist ultraklar, Georg.

Mir war das Gleichsetzen an sich nicht klar. Ich verstehe das aufgrund des Graphen aber jetzt. Dort, wo sich die Kurven schneiden, ist der gleiche Punkt oder die gleiche Steigung. Daher gleichsetzen. Dies wird klar, weil die Funktionen gerade um die Stelle 2 herum "definiert" sind. So richtig?

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Schön erkannt.
Du steht ja noch am am Anfang von Differentialrechnungen,
geteilte Funktionen usw.
Vor dir liegt noch ein weites Feld.
mfg Georg

Nachtrag : eine noch etwas genauere Definition

Stetigkeit : Ausgangsfunktion
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

Differentierbarkeit
a.) Stetigkeit und
b.) für die 1.Ableitung
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

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Danke für den Nachtrag!

Ich mache kleine Fortschritte. (:

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Dann stell´ die nächste Frage.