Bestimmung eines Parameters und der Beweis von Stetigkeit einer Funktion

Question

Aufgabe: Bestimmung des Parameters (mit Begründung), sodass die Funktion stetig ist. Sowie den Beweis, dass eine andere Funktion stetig ist.

a) Bestimmen Sie (mit Begründung) den Parameter \( a \in \mathbb{R} \) so, dass die folgende Funktion stetig ist:

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\left\{\begin{array}{ll} a-|x+1|, & \text { falls } x \leq 0, \\ e^{x}-4 x^{2}, & \text { falls } x>0 . \end{array}\right. \)

b) Zeigen Sie, dass die folgende Funktion stetig ist:

\( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):=\left\{\begin{array}{ll} x \cos \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array} .\right. \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann, jedoch werde ich mal meine Notizen hierzu niederschreiben.
Mir ist das Thema komplett neu :)

Zu der a): Verstehe ich das richtig, dass bis einschließlich der 0 die obere Funktion gilt, und ab dann, die untere? Ich habe versucht sie zu lösen, indem ich mir gedacht habe, dass der links Limes bei der oberen Fkt. und der rechts Limes der unteren, gegen denselben Wert gehen müssen. Nämlich x=0, aber ich komme mit dieser Idee nicht weiter.

Zu der b) Hier denke ich muss man beweisen, indem man den rechts Limes und links Limes bestimmt und wenn diese dann denselben Wert haben, dann ist die Funktion stetig. Als x₀  nimmt man dann x₀=0 und lässt den Limes der oberen Funktion, einmal gegen 0 von rechts gehen und einmal von links.

Von rechts ergibt einen Limes von 0, da man ja aus dem positiven kommt. Aber wenn man von links kommt, aus dem negativen, ergibt das dann auch einen Grenzwert von 0?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Da Polynome stetig sind, die Verknüpfungen stetiger Funktionen mittels der Grundrechenarten stetig sind und die Verkettungen stetiger Funktion stetig sind, müssen wir in beiden Aufgabenteilen nur den Punkt \(x_0=0\) auf Stetigkeit untersuchen.

Zum Beweis der Stetigkeit an der Stelle \(x_0\) kannst du zeigen, dass \(f(x_0)\) unabhängig vom gewählten Weg immer gegen denselben Wert strebt. Das ist in einer Dimension recht einfach, weil es nur zwei Wege gibt. Du kannst dich \(x_0\) von links \((x<x_0)\) oder von rechts \((x>x_0)\) nähern. Das heißt, der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion müssen identisch und gleich dem Funktionswert \(f(x_0)\) sein. Das kann man nachprüfen.

zu a) Wir bestimmen den links- und den rechtsseitigen Grenzwert:$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(a-|x+1|\right)=a-1\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(e^x-4x^2\right)=1$$Stetigkeit liegt genau dann vor, wenn beide Grenzwerte gleich sind, also für \(a=2\).

zu b) Auch hier müssen wir prüfen, ob der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert \(f(0)=0\) sind.

1. Fall \(x>0\), wir nähern uns dem Wert \(x_0=0\) von rechts.$$-1\le\cos\left(\frac1x\right)<1\implies -x\le x\,\cos\left(\frac1x\right)\le x\implies\lim\limits_{x\searrow0}g(x)=0$$

2. Fall \(x<0\), wir nähern uns dem Wert \(x_0=0\) von links.$$-1\le\cos\left(\frac1x\right)<1\stackrel{(x<0)}{\implies} -x\ge x\,\cos\left(\frac1x\right)\ge x\implies\lim\limits_{x\nearrow0}g(x)=0$$Daher ist \(g\) im gesamten Definitionsbereich und insbesondere bei \(x=0\) stetig.

Answer 2

lim x-> 0(-) [ a - | x - 1| ] = a - 1
lim x -> 0(+) [ e^x - 4x^2 ] = e^0 = 1

a - 1 = 1
a = 2

Comments

b.)
Annäherung von links
lim x -> 0(-) [ 1/x ] = - ∞
cos ( -∞ ) ist nicht definiert
oszilliert aber zwischen -1 und +1

lim x -> 0(-) = x * ( -1 bis + 1 ) = 0

Der Grenzwert ist also 0

Bei Ännäherung on rechts dasselbe

linker Grenzwert 0
rechter Grenzwert 0

Dann wird wohl x = 0  auch null sein.
Und damit stetig.