Beispiel. Zeige dass die Funktion
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin {cases}x^2&x<-2\\2x+8&x\geq -2\end{cases}\)
auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist.
Lösung. Für \(x < -2\) ist \(f\) stetig, weil quadratische Funktionen stetig sind.
Für \(x > -2\) ist \(f\) stetig, weil lineare Funktionen stetig sind.
Für \(x = -2\) ist \(f\) stetig, weil linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen, d.h. es ist
\(\lim\limits_{x\nearrow -2}f(x) = (-2)^2 = 4\)
und
\(\lim\limits_{x\searrow -2}f(x) = 2\cdot (-2)+8 = 4\)
und
\(f(-2) = 2\cdot (-2)+8 = 4\).
