Bestimmen Sie den größtmöglichen Bereich für die Wahl der Parameter a, b ∈ ℝ, sodass die Funktion f: [0,6] → ℝ …

Question

Aufgabe :

Bestimmen Sie den größtmöglichen Bereich für die Wahl der Parameter a, b ∈ ℝ, sodass die Funktion f: [0,6] → ℝ stetig ist.

f(x) = { √(ax)             x ∈ [0,1[

       1/|x-b|            x ∈ [1,6]

Vielleicht kann mir hier jemand vertrauten, wie ich auf die Parameter komme, dass wäre sehr lieb.

Answer 1

Hallo,

ich weiß nicht genau, was du mit dem "größtmöglichen Bereich" meinst. Da die Differenzierbarkeit in einem Punkt auch die Stetigkeit der Funktion in diesem Punkt impliziert, ist dies ein starkes Werkzeug, um einen glatten Übergang zu gewährleisten. \(f\) ist überall stetig, nur die Nahtstelle ist interessant.

An der Nahtstelle \(x_0=1\) muss \(\sqrt{a}=\frac{1}{|1-b|}\) und \(\frac{\sqrt{a}}{2}=\frac{b-1}{|b-1|^3}\) gelten. Daraus folgt \(a=\frac{1}{4}\) und \(b=3\).

https://www.desmos.com/calculator/gbgrv4bwcm

Die Aufgabe könnte aber schwieriger sein als ich vermute, daher melde dich bitte nochmal, wenn diese Antwort nicht deinen Erwartungen entspricht.

Es scheint mir in der Tat aber nur ein Lösungspaar zu exisitieren. Ich lasse hier die Funktionen mit verschiedenen Parametern durchlaufen. Sie berühren sich zwar noch in einem anderen Punkt bei anderer Wahl der Parameter; sicherlich aber nicht stetig.

https://www.desmos.com/calculator/uzsfvpfbhm

Comments

Also bei der Frage waren nicht die konkreten Werte also a=1/4 und b=3 sondern nur die Bereiche also a = 1/(1-b)^2 gefragt. Für a verstehe ich das auch noch aber für b soll b ∈ ℝ \ [1,6] raus kommen und da verstehe ich nicht ganz wie ich darauf komme.

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Hallo,

es ist ja nur nach Stetigkeit gefragt, also \(\sqrt{a}=\frac{1}{|1-b|}\). Man kann also b wählen und dazu da passende a bestimmen. Aber im Intervall \([1,6]\) soll die Funktion durch \(\frac{1}{|x-b|}\) dargestell werden. Damit hier nicht durch 0 dividiert wird, ist dieses Intervall für b auszuschließen.

Gruß

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Achso danke für die Erklärung