Gauß-Algorithmus: für welche Skalare ist die Matrix invertierbar?

Question

Berechnen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, für welche Skalare x,y,z aus K

B= $$\begin{matrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{matrix}$$

intertierbar ist.

Wir dürfen benutzen das eine 2x2 MAtrix invertierbar ist wenn die Determinante ungleich null ist.

Also würde ich hier die erste Spalte der matrix auf Zeilenstufenform bringen und dann die determinante des rechten unteren vierecks bilde die ungleich null sein muss.

Allerdings komm ich gar nicht erst so weit. bei mir kommt da nämlich-y+z*y-z-z*y*(1/x) raus was weniger sinn ergibt.

Comments

Ah. Jetzt habe ich -zx+yzx-yx+zy raus.
Wie kann ich jetztweiter machen?

Answer 1

Ah. Jetzt habe ich -zx+yzx-yx+zy raus.
Wie kann ich jetztweiter machen?
Bin mir nicht sicher, dass das der beste Ansatz ist.

Ist jedenfalls nicht invertierbar  wenn zwei der Variabeln 0
sind, denn dann stimmen zwei Spalten überein.

In allen anderen Fällen, scheinen mir die Spalten lin. unabh. zu sein,
also Matrix invertierbar.

Comments

Wie würdest du denn Ansätzen? Uns wurde dass als tipp gegeben.
 habe beim umformen auf zeilenstufenfom durch x geteilt. heißt dass, das x immer ungleich null sein muss?

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Also reich es zu schreiben dass xyz-xy-xz-yz nur gleich 0 ist wenn zwei skalare gleich null sind oder z=(xy)/(xy-x-y)  und xy-x-y ungleich 0 ?

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genau, wenn du teilen musst, dann muss das x ungleich Null sein.

und dann musst du halt Fallunterscheidungen treffen, etwa so:

xyz-xy-xz-yz = 0   (kann es sein dass die Vorzeichen alle genau andersherum sind ?

ist ja für die Frage ob es 0 ist egal )

besser so:

(x*(y*(z-1) - z) - yz                So, wann ist das gleich Null ?

x*(y*(z-1) - z   =  yz  

1. Fall z=0  dann bleibt  -xy = 0   also x=0 oder y=0

2. Fall z ungleich Null dann durch z

x*(y*(1-1/z) - 1 = y

bzw.     x*(y*(1-1/z) = y+1

1. Unterfall x=0 oder y=0

dann bleibt  0 = y+1 gilt also falls x=0 und y=-1

2. Unterfall x=ungleich 0 und y ungleich 0

1. Fall  z= 1 und y=-1 dann ist es auch erfüllt.

2. Fall etc.