Nullstellen, Exremwerte, Lage von Wendestellen,Monotonieverhalten

Question

Geg:

f(x)=3 * x⁴ - 12 * x³ +12 * x² - 3 

a) Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

b) Untersuchen Sie das Monotonie-sowie das Krümmungsverhalten der Funktion f.

Comments

Hi,

die Frage existiert https://www.mathelounge.de/190027/nullstellen-exremwerte-wendestellen-monotonieverhalten?show=195683#c195683

Answer 1

Hi,

f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 3

f'(x) = 12x^3 - 36x^2 + 24x

f''(x) = 36x^2 - 72x + 24

f'''(x) = 72x - 72

Nullstellen:

f(x) = 0

(Polynomdivison)

x_(1,2) = 1±√2 und x_(3,4) = 1

Extrema:

f'(x) = 0

x_(5) = 0, x_(6) = 1 und x_(7) = 2

Damit in die zweite Ableitung und dann in f(x):

T_(1)(0|-3), H(1|0) und T_(2)(2|-3)

Wendepunkte:

f''(x) = 0

x_(8) = 0,423 und x_(9) = 1,578

Damit in f'''(x) und dann in f(x):

W_(1)(0,423|-1,667) und W_(2)(1,578|-1,667)

b)

Monotonie und Krümmungsverhalten:

Einfach eine Probe machen (Montonie iwo in die erste Ableitung einsetzen und für Krümmung in die zweite Ableitung). Intervalle ergeben sich dann durch die Extrema/Wendepunkte.

Grüße

Comments

was meinen sie mit diesen _ sind das minus Striche? (-)

Lg

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Nein, das sind Indizes. Habs gerade mal korrigiert (Hatten da letztlich eine Umstellung, das eine Klammer fürs Tiefstellen notwendig ist, das war nicht immer so :P)

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Ah okay danke :)

Die b) verstehe ich allerdings nicht? verstehe nicht wie ich was einsetzen muss

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Wenn Du eine Skizze hast, ist das schnell ersichtlich:

Nun wisse (und sehe), dass die Monotonie sich bei jedem Extremum ändert. Das gleiche gilt für das Krümmungsverhalten in Wendepunkten. Bestimme also in einem beliebigen Intervall die Monotonie/Krümmungsverhalten und gib bei jedem Extremum/Wendepunkt eine Änderung dieses an ;).

Answer 2

f(x) = 3* x⁴ - 12 * x³ + 12 * x² -3
a) Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte
sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

f ( x ) = 3 * x^4 - 12 * x^3 + 12 * x^2 - 3
f ´ ( x ) = 12 * x^3 - 36 * x^2 + 24 * x
f ´´ ( x ) = 36 * x^2 - 72 * x + 24

Extremstellen
12 * x^3 - 36 * x^2 + 24 * x = 0
x * ( 12 * x^2 - 36 * x + 24 ) = 0  => x = 0
und
12 * x^2 - 36 * x + 24 = 0  | pq Formel
x = 1
x = 2

Wendepunkte
36 * x^2 - 72 * x + 24 = 0  | pq Formel
x = 0.423
x = 1.577

Die Berechnung ist zwar unvollständig, aber ich hoffe
es hilft dir weiter.