Wie lange dauert ein Sturz aus 10 km Höhe auf die Erdoberfläche? (DGL Lösen, Trennung der Variablen)

Question

Aufgabe (Freier Fall):

Gegeben sei folgende Differentialgleichung in \( h(t) \).

\( h=-\sqrt{2 g R^{2}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h(0)}\right)} \)

Durch \( h(t) \) wird der Abstand vom Erdmittelpunkt beim freien Fall auf die Erde berechnet; \( g=9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}, R=6.37 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} \) (Erdradius). Wie lange dauert ein Sturz aus \( 10 \mathrm{~km} \) Höhe auf die Erdoberfläche?

Answer 1

Hi,

ich habe die Dgl. erstmal numerisch gelöst. Die Dgl. entsteht ja aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz

$$  \ddot h(t) = -\frac{g\cdot R^2}{h(t)} $$ mit den Anfangsbedingungen $$ h(0)= R+H $$ und $$ h'(0)=0 $$
mit \( g=9.81 \frac{m}{s^2} \) ist die Erdbeschleunigung, \( H=R+10000 [m] \) ist die Anfangshöhe über dem Erdmittelpunkt und \( R=6.37 10^6 [m] \) ist der Erdradius wie angegeben.
Die Lösung sieht dann folgendermaßen aus

Die Fallzeit beträgt dann 45.211 Sekunden, auch das habe ich erstmal numerisch gelöst.

Unter dem folgenden Link

http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=65100&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26cad%3Drja%26uact%3D8%26ved%3D0CCUQFjAA

ist eine gute Erklärung. Die Fallzeit stimmt auch mit der numerisch berechneten überein.