Problem: Basis des Abb(R,R) finden!

Question

Ich bin grad am lernen und habe mir die Frage gestellt wie ich eine Basis des Vektorraums der Abbildungen von ℝ nach  ℝ konstruieren könnte, also von V=Abb( ℝ, ℝ).

Da linearkobinationen bekanntlich nur einen endlichen Träger haben dürfen und V unendlichdimensional ist fällt mir das etwas schwer. Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Answer 1

Verschwende lieber nicht deine Zeit damit zu versuchen so eine Basis zu finden. Je nachdem welches Axiomensystem du zugrundelegst existiert nicht mal zwangsläufig eine Basis. In ZFC gibt es z.B. eine. Unter gewissen Voraussetzungen ist die Existenz einer Basis für beliebige Vektorräume sogar äquivalent zum Auswahlaxiom. Aber zurück zum Thema: So weit ich weiß, kann man nicht mal eine explizite Basis für \(C(\mathbb{R})\) angeben. Ich habe nur mal gehört, dass es eine explizite Basis von \(C([0,1])\) gibt, ich weiß aber nicht mehr wie diese aussieht. Und eine Hamelbasis war das glaube ich auch nicht.

Wenn du auf unendlichdimensionale Vektorräume stehst kannst du dich ja mal an ein paar Folgenräumen versuchen. Für \(0<p<\infty\) sei

$$ \ell^p = \{ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathcal{Q}:\sum_{k=0}^{\infty} |x_k|^p < \infty\} $$

wobei \(\mathcal{Q}=\{f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\} \).