Es seien Gruppen \( G \) und \( H \) gegeben. Ein Gruppenhomomorphismus von \( G \) nach \( H \) ist eine Abbildung \( \varphi: G \rightarrow H \) derart, dass für \( x, x^{\prime} \in G \) stets
\( \varphi\left(x \cdot{G} x^{\prime}\right)=\varphi(x) \cdot{ }^{H} \varphi\left(x^{\prime}\right) \)
gilt.
Es seien abelsche Gruppen \( A \) und \( B \) gegeben. Ein Homomorphismus abelscher Gruppen von \( A \) nach \( B \) ist ein Gruppenhomomorphismus \( \varphi: A \rightarrow B \).
Hinweise. Beachten Sie, dass wir abelsche Gruppen additiv schreiben, wodurch sich auch die Schreibweise der definierenden Eigenschaft eines Homomorphismus abelscher Gruppen ändert.
Die im Folgenden auftretenden Mengen seien jeweils als Gruppen bzgl. der im jeweiligen Fall üblichen Multiplikation bzw. als abelsche Gruppen bzgl. der im jeweiligen Fall üblichen Addition aufgefasst.
Jeweils mit Ja-Nein-Auswahl:
A: Ist \( sgn: ~ \mathbb{R}^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}^{\times}, x \mapsto \frac{x}{|x|} \) ein Gruppenhomomorphismus?
B: Ist \( \mathbb{Z}^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}^{\times}, x \mapsto-1 \) ein Gruppenhomomorphismus?
C: Ist \( \mathrm{S}_{4} \rightarrow \mathrm{S}_{4}, \pi \mapsto \pi^{2} \) ein Gruppenhomotnorphismus?
D: Es sei \( \pi \in \mathrm{S}_{5} \) gegeben. Ist \( \mathrm{S}_{5} \rightarrow \mathrm{S}_{5}, \sigma \mapsto \sigma \pi \) ein Gruppenhomomotphismus?
E: Ist \( \mathbb{F}_{4} \rightarrow \mathbb{F}_{4}, x \mapsto x^{2} \) ein Homomorphismus abelscher Gruppen?
