Integral gebrochen rationale Funktion mit Nennerpolynom ohne Nullstellen

Question

Ich habe Pobleme mit den Integralen von gebrochen rationalen Funktion. Ich kriege sie meistens mit Partialbruchzerlegung oder Polynomdivision ganz gut klein aber irgendwann ist dann Schluss und die Verfahren greifen nicht mehr.

Bsp. (-3x-8)/(x²+6x+10)

Hier komme ich mit der Substitution nicht wirklich weiter da sich mit der Ableitung des Nenners nichts kürzen lässt. So kriege ich den Bruch auch nicht vereinfacht und partielle Integration macht alles noch schlimmer so wie ich finde und weitere Partialbruchzerlegung fällt aus da die Nullstellen komplexer Natur sind.

Hat jemand eine Lösung für mein Problem? Vielleicht sehe ich einen simplen Trick für die Vereinfachung nicht.

LG Martin

Answer 1

also wenn es 
(2x+6)/(x2+6x+10) wäre, dann ginge es ja mit ln(x2+6x+10)als Stammfunktion.
oder damit im Zähler die -3x schon mal klappen (-3/2)*ln(x2+6x+10)
dann hast du als Ableitung (-3x-9)/(x2+6x+10)
Das passt ja schon fast.
unu ist aber 1/(x2+6x+10) = 1/((x+3)^2 + 1) und das sieht nach
arctan aus, denn arctan(x+3) abgeleitet gibt 1/ (x2+6x+10)
also ist eine Stammfunktion für (-3x-8)/(x²+6x+10)

(-3/2)*ln(x2+6x+10) +  arctan(x+3)

Comments

Danke. Das war ein sehr guter Wink mit dem Gartenzaun.

Answer 2

Hallo.

Mal ein kleiner Tipp. Lade dir Wolframalpha für das Smartphone. Das kostet glaub ich 2 Euro aber hilft bei solchen Sachen ungemein.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Aber im Mathebuch ist das die Lösung:

2x - 3/2ln(x² + 6x + 10) + arctan(x + 3) + c. Ich denke mal das wird dasselbe sein. 

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Sorry, die "2x" bitte streichen. Die kommt aus vorheriger Zerlegung durch Polynomdivision. Aber durch alle Beiträge zusammen habe ich die notwendige Vereinfachung verstanden. Jetzt heißt es nur noch Üben Üben Üben

Answer 3

Wenn man das Resultat hier ansieht: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28-3x-8%29%2F%28x%5E2%2B6x%2B10%29+

Sollte sich der Integrand als

t(x) + a(2x + 6)/(x^2 + 6x + 10) schreiben lassen.

Dabei kannst du t(x) umschreiben auf t(u) = b/(1+u^2)

Wobei u = x + 3.

Suche vielleicht mal in dieser Richtung.