definieren die komplexen trigonometrischen Funktionen

Question

Wir de finieren die komplexen trigonometrischen Funktionen   sin : ℂ→ℂund  cos: ℂ→ℂ

durch

sin z := (e^iz - e^-iz ) / 2i

und cos z := (e^iz - e^-iz  )/ 2

 Zeige, dass 

sin(z + w) = sin z *cosw + cos z * sinw
und
cos(z + w) = cos z *cosw- sin z*sinw
fuer alle z;w ∈ℂ

Das  ist meine Antwort Kann mir jemand sagen, ob ich das nun richtig verstanden habe!

sin x := (e^ix - e^ix ) / 2i =
 e^ix - e^-ix   = ( cos x + i sinx ) -(cosx-i*sin x) = 2i * sin x ⇒ sinx = (e^ix - e^-ix ) / 2i

cos x:= (e^ix - e^-ix )/ 2 =( cos x + i sinx ) +(cosx-i*sin x)  = 2*cos x
⇒cosx := (e^ix - e^-ix  )/ 2

Comments

Vielen Dank !

kann man genau das selbe für die andere gleichung machen also

Cos (z+w) = cos z *cosw  - sin z*sinw

für das z aus der Def jetzt (z+w)

(e ^i(z+w) - e^-i(z+w) ) / 2 = ( e^iz * e ^iw - e ^-iz * e ^-iw ) / 2

(e^iz   _- e ^-iz    _{) /  2 *} (e ^iw -e ^-iw  )/2-  *(e^iz  - e ^-iz  )/2i * (e ^iw  _-  e ^iw   )/2i

_⇒
Cos (z+w) = cos z *cosw  - sin z*sinw

---

müsste klappen

Answer 1

glaube nicht, dass das stimmt.


 Zeige, dass
sin(z + w) = sin z *cosw + cos z * sinw
dazu benutzt du die Def:
sin z := (e^iz - e^-iz ) / 2i

und cos z := (e^iz - e^-iz  )/ 2

also sin(z+w) =  für das z aus der Def. jetzt z+w einsetzen

(e ^i(z+w) - e^-i(z+w) ) / 2i
und dann umformen
( e^iz * e ^iw - e ^-iz * e ^-iw ) / 2i   u.s.w
bis

(e^iz - e^-iz ) / 2i * (e^iw - e^-iw  )/ 2  + (e^iz - e^-iz  )/ 2 * (e^iw - e^-iw  )/ 2i
=sin z *cosw + cos z * sinw
herauskommt.