Additionstheorem trigonometrische Formel

Question

Beweisen Sie die trigonometrische Formel sin(4x)=8cos^3 x sin x - 4 cos x sin x, indem Sie von dem Ansatz sin(4x)=Im(e^i4x) ausgehen.

Answer 1

Hi,

sin(4x) = Im(e^{i4x}) = Im((e^{ix})^4) = Im((cos(x)+isin(x))^4)

= Im(8cos(x)^4 - 8cos(x)^2 + 8i*sin(x)cos^3(x) - 4i*sin(x)cos(x) + 1)

= 8cos(x)^{3}sin(x) - 4cos(x)sin(x)

 

Grüße

Comments

wie kommst du auf die 2. Zeile? Einfach Klammern auflösen und die i^n ausrechnen?

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Die zweite Zeile ist nur ausmultiplizieren.

Im Prinzip nichts anderes als (a+b)^4 = (a+b)^2(a+b)^2, mit a = cos(x) und b = isin(x)

Kennst Du das Pascalsche Dreieck kannst Du Dir auch den Zwischenschritt über die zweifache binomische Formel sparen ;).

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cos⁴(x) + 4cos³(x)*isin(x) - 6cos²(x)sin(x) - 4cos(x)*isin³(x)+sin⁴(x) hat man dann, aber ich sehe nicht wie man das nun zusammenfasst, um auf deine 2. Zeile zu kommen

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Yup,

von da kommste auch direkt zum Ziel ohne auf meine Zeile zu kommen:

Im(cos⁴(x) + 4cos³(x)*isin(x) - 6cos²(x)sin(x) - 4cos(x)*isin³(x)+sin⁴(x))

= 4cos³(x)*sin(x) - 4cos(x)*sin³(x)

mit sin^2(x) = 1-cos^2(x)

= 4cos^3(x)sin(x) - 4cos(x)(1-cos^2(x))sin(x)

= 4cos^3(x)sin(x) - 4cos(x)sin(x) + 4cos^3(x)sin(x)

= 8cos^3(x)sin(x) - 4cos(x)sin(x)

 

Alright?! ;)

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Du siehst  es führen viele Wege nach Rom^^.


Gerne