die Formel sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) · cos(ψ) + cos(ϕ) · sin(ψ) nachzurechnen ( Additionstheorem)

Question

Es gelten fur alle \( z \in \mathbb{C} \) die Formeln: \( \operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \) und \( \operatorname{Im}(z)=\frac{1}{21}(z-\bar{z}) \)
i) Entwicklen Sie je eine Darstellung für \( \sin (\varphi) \) und \( \cos (\varphi), \) indem Sie die oberen Formeln auf die eulersche Formel anwenden.
ii) Nutzen Sie das Ergebnis aus (i) um die Formel \( \sin (\varphi+\psi)=\sin (\varphi) \cdot \cos (\psi)+\cos (\varphi) \cdot \sin (\psi) \)
nachzurechnen.

Kann jemand erklären, wie man den zweiten Teil dieser Frage löst?

Answer 1

Wähle zwei komplexe Zahlen

z1 = r1*e^(i*φ) und z2=r2*e^(i*ψ).

Dann ist das Produkt einerseits

z1*z2=r1*r2*e(i*φ+i*ψ)=r1*r2*e(i*(φ+ψ))=r1*r2*e(i*(φ+ψ))
       =r1*r2*(cos(φ+ψ)+i*sin(φ+ψ))

andererseits

z1*z2=r1*(cos(φ)+i*sin(φ)) * r2*(cos(ψ)+i*sin(ψ))

= r1*r2*( cos(φ)*cos(ψ)-sin(φ)*sin(ψ)+i*(sin(φ)*cos(ψ)+cos(φ)*sin(ψ))

Der Vergleich der Imaginärteile liefert das Ergebnis.