Additionstheoremen für Tangen: tan (a+ß) = ( tan a + tan ß) / ( 1 - tan a * tan ß)

Question

Folgern Sie aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus die Formel:

tan (a+ß) = ( tan a + tan ß) / ( 1 - tan a * tan ß)

mit Hilfe von

tan a= sin a / cos a

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Formeln für trigonometrische Funktionen beweisen! Bsp. Additionstheorem des Tangens.

Stichworte: additionstheorem,tangens,halbwinkel,trigonometrische,cosinus,sinus

Bin gerade bei meiner letzten Übungsaufgabe angekommen und verstehe überhaupt nicht wie ich das zu lösen hab. Wäre schön

wenn mir jemand weiterhelfen könnte ! danke

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Vom Duplikat:

Titel: Additionstheorem für den Tangens zeigen

Stichworte: additionstheorem,tangens,sinus,cosinus

Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus das Additionstheorem für den Tangens

tan(a + b) =  ( tan(a) + tan(b) )  / ( 1 − tan(a) tan(b) )
                   

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tan (a+b) = sin(a+b)/cos(a+b)

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

Beweis hier:

http://www.essichnet.de/download/bewaddt.pdf

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Vom Duplikat:

Titel: Additionstheorem für Tangens aus Additionstheoremen von Sinus und Cosinus herleiten?

Stichworte: additionstheorem,tangens,beweisen

Aufgabe: Folgern Sie aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus die Formel:

tan (a+ß) = ( tan a + tan ß) / ( 1 - tan a * tan ß)

Problem/Ansatz:

ich weiss gar nicht erst wie ich anfangen soll...

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Es gibt diesen Beweis auch unten "ähnliche Fragen" schon mehrfach.

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EDIT: Habe nun in der Frage die fehlenden Klammern um Zähler und Nenner ergänzt.

Answer 1

tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b) 

= [ sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ] / [ cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) ] 

im Nenner   cos(a) cos(b)  ausklammern:

= [ sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ]  /  [ cos(a) cos(b) ( 1 - [sin(a) sin(b) / [cos(a) cos(b)] ) ] 

= [ sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ]  /  [ cos(a) cos(b) (1 - tan(a) tan(b)) ] 

= [ sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ]  /  [ cos(a) cos(b)]  /  [ 1 - tan(a) tan(b)) ] 

= [ sin(a) cos(b) / [ cos(a) cos(b)]  + sin(b) cos(a)  /  [ cos(a) cos(b) ] ]  /  [ 1 - tan(a) tan(b) ]

= [ tan(a) + tan(b) ]  /  [ 1 - tan(a) tan(b) ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

siehe hier z.B.:

Answer 3

Schnapp dir mal ein paar Beweise der Additionstheoreme

http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Trigonometrie:_Additionstheoreme:_Tangens

Comments

also b hab ich jetzt auch gelöst mit cos(x+-y)=cos(x)+cos(y)+-sin(x)*sin(y)

nur bei c finde ich irgendwie keinen Ansatz wegen dem pi?!

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ok hab mich total verguckt sorry, da steht ja absolut nix mit pi

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Wo siehst du bei c) ein pi ?

COS(2·α) = 1 - 2·SIN(α)^2

2·SIN(α)^2 = 1 - COS(2·α)

SIN(α)^2 = (1 - COS(2·α)) / 2

Subst α = x/2

SIN(x/2)^2 = (1 - COS(x)) / 2

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wie gesagt hab mich verguckt sorry ! aber danke für den Ansatz hab alle gelöst

Answer 4

Es gilt allg.

tan a= sin a / cos a

(sin(a+b))/(cos(a+b))= tan(a+b)

sin(a+b)= sin(a) cos(b) +cos(a) *sin(b)

cos(a+b)= cos(a) cos(b) -sin(a) *sin(b)

Jetzt bildest Du:

(sin(a+b))/(cos(a+b))= hier setzt Du die 2 Zeilen darüber ein.

------>jetzt teilst Du jeden Term durch cos(a) *cos(b) und kürzt und ersetzt dannjeweils Sinus/Cosinus

(siehe Ausdrücke ganz oben)

Damit hast Du nun tan(a+b)= (tan a + tan b) / (1-tan a * tan b)

bekommen

Answer 5

ich weiss gar nicht erst wie ich anfangen soll...

Steht doch dort :)

Erinnere dich an tan (a+ß) = sin (a+ß) / cos (a+ß)

Nun einsetzen.