Stetige Funktion mit f(x+y)= f(x) +f(y) für alle x,y∈ℝ. Beweise: Es gibt ein c∈ℝ so dass f(x) = cx.

Question

Kann mir jemand bei dieser aufgabe behilflich sein?

Also sei f:ℝ→ℝ stetig mit f(x+y)= f(x) +f(y) für alle x,y∈ℝ. Zu zeigen ist, dass es ein c∈ℝ gibt, so dass f(x)= cx.

Answer 1

f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2*f(1)

f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 2*f(1) + f(1) = 3*f(1)

....

f(n) = n*f(1)       .  Somit ist c = f(1).

Nun musst du noch die Brüche betrachten

f(1) = f (1/2 + 1/2) = f(1/2) + f(1/2) = 2 f(1/2)

==> 1/2 * f(1) = f(1/2).           ... Solange weitermachen, bis klar ist, dass

f(x) = x * f(1) für alle rationalen x gilt. (Wenn du willst mehrfach mit Induktion)

Da f stetig ist, muss f(x) = x * f(1) für alle x ∈ℝ gelten und f(1) = c.