Question

Gibt es eine stetige Funktion

f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) ≠ x, ∀ x∈[0,1] ?

und wie siehts bei einem halboffenem Intervall aus

g: [0,1) -> [0,1) mit g(x) ≠ x, ∀ x∈[0,1) ?

Comments

Male das Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] hin, zeichne die Winkelhalbierende y = x ein und versuche dann, eine stetige Funktion y = f(x) einzupassen, die für alle x ∈ [0, 1] definiert ist, aber die Winkelhalbierende nie schneidet. Den Graphen einer stetigen Funktion kann man bekanntlich am Stueck, ohne den Stift abzusetzen, zeichnen. Dass die Funktion auf ganz [0, 1] definiert sein soll bedeutet, man setzt den Stift bei x = 0 an und endet bei x = 1.

Answer 1

zu f:    Angenommen es gäbe sie, dann wäre  die Funktion mit

h(x) =  f(x)-x auch stetig auf [o;1] . Und es wäre 

h(0) = f(0)  ∈ [ 0 ; 1 ]    und  h(1) = f(1) - 1 ≤ 0 

Wäre h(1) = 0 dann wäre f(1) - 1 = 0 also f(1) = 1 im Widerspruch zu f(x)≠x 

für alle x ∈ [0;1].

Ist h(1) < 0 , dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz ( weil h(0) ≥ 0 ) es

x ∈ [0;1] mit   h(x) = 0 , also f(x) = x.  Auch Widerspruch ! 

Comments

Bei g klappt es mit  g(x) = 1-x und  h(x) = 0 für alle x.