Ungleichung Lösungsmenge bei Fallunterscheidungen

Question

Hallo ich habe ein Problem bei Bildung der Lösungsmengen. Kann mir da jemand kurz sagen wie man die einzelnen Intervalle in Verbindung bringen muss? Komme da immer durcheinander

x < 9 / (6-x)

Df = R \ {6}

Grundbedingungen:

Fall I: 6-x > 0 => x < 6 => (-oo, 6)
Fall II: 6-x < 0 => x > 6 => (6, +oo)

Zu Fall I:
x(6-x) < 9
=> 6x - x^2 < 9 | *(-1), + 9
=> x^2 - 6x + 9 > 0
=> (x-3)^2 > 0
=> |x-3| > 0

Fallunterscheidung |x-3|:
I A: x - 3 >= 0
x - 3 > 0 => x > 3 => (3, +oo)

I B: x - 3 < 0
-x + 3 > 0 => x < 3 => (-oo , 3)

Wie muss ich die einzelnen Intervalle nun in Verbindung bringen?
Bin mir irgendwie nicht sicher ob das so korrekt ist.

I A: (3, +oo) geschnitten mit (-oo, 6) => (3, 6)
I B: (-oo, 3) geschnitten mit (-oo, 6) => (-oo, 3)

Vereinigung der beiden Ergebnis-Intervalle. Lösung I = (-oo, 3) U (3, 6) = (-oo, 6) \ {3}

Das wäre ja bereits die korrekte Lösung aber wenn ich mir Fall II anschaue
kommt noch ein weiterer Intervall heraus der eigentlich nicht auftauchen sollte, da er den pos. Bereich nach 6 miteinbezieht.

Zu Fall II (wie I, nur einmal umgedrehtes Relationszeichen)

=> |x-3| < 0

Fallunterscheidung |x-3|:
II A: x - 3 >= 0
x - 3 < 0 => x < 3 => (-oo, 3)

II B: x - 3 < 0
-x + 3 < 0 => 3 < x => x > 3 => (3, +oo)

II A: (-oo, 3) geschnitten mit (6, +oo) => Leere Menge
II B: (3, +oo) geschnitten mit (6, +oo) => (6, +oo)

Vereinigung beider Intervalle. Lösung II = Leere Menge U (6, +oo)

Gesamtlösung: (-oo, 6) U (6, +oo) \ {3}

Habe ich irgendwo einen Fehler in der Berechnung oder muss man die aus den Fallunterscheidungen entstehenden Intervalle anders miteinander
in Verbindung bringen?

Answer 1

Zu Fall I:
...
=> (x-3)² > 0

Ein Term zum Quadrat erhoben ist immer größer 0.
Hier hast du also mit weiteren Fallunterscheidungen etwas zuviel gemacht.
Ausnahme x = 3
x = ℝ. Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
Fall I: 6-x > 0 => x < 6 => ] -∞ , 6 [  und
( x ≠ 3 ) ergibt sich
x = ] -∞ , 6 [  \ { 3 }

Fall II: 6-x < 0 => x > 6 => ] 6, +∞ [
...
=> (x-3)² < 0
Ein Term zum Quadrat erhoben ist immer größer 0.
Hier hast du also mit weiteren Fallunterscheidungen auch etwas zuviel gemacht.
x = { }

Es ergibt sich also insgesamt
x = ] -∞ , 6 [  \ { 3 }

Comments

Achso... also muss ich nach einer quadratischen Ergänzung nur noch nach Nullstellen gucken?

In welchen Fällen muss ich denn dann den Betrag verwenden, weil ich dachte man muss nach dem Wurzelziehen immer alles in Betrag setzen?

Irgendwie ist das alles schwierig zu verstehen, da bei jeder Aufgabe immer alles anders zu sein scheint...

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Irgendwie ist das alles schwierig zu verstehen, da bei jeder
Aufgabe immer alles anders zu sein scheint...

Stimmt. Es gibt zwar das Schema, aber jede Augbae ist anders.
Du mußt immer schauen : was trifft zu.

In welchen Fällen muss ich denn dann den Betrag verwenden, weil
ich dachte man muss nach dem Wurzelziehen immer alles in Betrag setzen?

=> ( x - 3 )²  > 0
=> | x - 3 | > 0
Hier hast du alles richtig umgeformt, was aber nicht notwendig war.
Ein Blick auf ( x - 3 )²  > 0 zeigt dem Fachmann : diese Aussage ist
stets wahr, denn ein Term zum Quadrat erhoben ist stets positiv.
Ausnahme : der Term ist 0.

Bei Fall B.) hast du einen Fehler gemacht

Fallunterscheidung |x-3|:

II A: x - 3 >= 0  : Eingangsvoraussetzung x > 3
x - 3 < 0 => x < 3
( x < 3 ) und die Eingansgvoraussetzung ( x > 3 ) ergibt die leere Menge

II B: x - 3 < 0  : Eingangsvoraussetzung x < 3
-x + 3 < 0 => 3 < x => x > 3
( x > 3 ) und die Eingansgvoraussetzung ( x < 3 ) ergibt die leere Menge

Also war es bei dir nur ein Rechenfehler.

Ansonsten hast du Aufgabe doch schon gut gelöst.
Du wirst dich auch noch verbesseren.
Garantiert. Das kommt mit der Zeit.

Answer 2

Ich glaube, dass es hilft, wenn du es etwas strukturierter aufschreibst.

Du hast ja erst mal Fälle unterschieden um zu schauen, ob bei

der Multiplikation mit dem Nenner das Zeichen gedreht werden musst

und kamst auf

6-x>0   und  |x-3| > 0

also  6 > x   und |x-3| > 0

bzw  x<6   und |x-3| > 0

Die zweite Ungleichung gilt außer für x=3 für alle x und

die erste eben nur für die x, die Kleiner als 6 sind.

Also liefert dir dieser Fall insgesamt:

Alle x < 6 mit  x ungleich 3.

Der zweite Fall führt auf     x>6 und |x-3|<0

Ein Betrag kann aber nicht kleiner als Null sein, also gibt es

hier keine Lösungen.

Damit ist die gesamte Lösungsmenge das, was bei Fall1 herauskam.