Man berechne a, \omega, \varphi, \psi, b_{1} und b_{2} . Gleichungssystem lösen.

Question

Für die im Bild gezeigte Funktion gelten die Beziehungen:

\( \begin{aligned} f(x) &=a \sin (\omega x+\varphi)=a \cos (\omega x+\psi) \\ &=b_{1} \sin \omega x+b_{2} \cos \omega x . \end{aligned} \)

Man berechne \( a, \omega, \varphi, \psi, b_{1} \) und \( b_{2} \).

Mein Versuch:

\( 2=a \cdot \sin \left(\omega \cdot \frac{\pi}{6}+\varphi\right) \)
\( 2=a \cdot \cos \left(\omega \cdot \frac{\pi}{6}+\psi\right) \)
\( 2=b_{1} \cdot \sin \left(w \cdot \frac{\pi}{b}\right)+b_{2} \cdot \cos \left(\omega \cdot \frac{\pi}{b}\right) \)
\( 0=a \cdot \sin \left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}+\varphi\right) \)
\( 0=a \cdot \cos \left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}+\psi\right) \)
\( 0=b \cdot \sin \left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}\right)+b_{2} \cdot \cos \left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}\right) \)

Answer 1

Du hast auch noch die Information

f ´( π / 6 ) =  0

mfg Georg

f ( x ) = a * sin ( o * x + p )
f ´( x ) = a * cos ( o * x + p ) * o

f ( π / 6 ) =  a * sin ( o * π / 6 + p ) = 2
f ( π / 2 ) =  a * sin ( o * π / 2 + p ) = 0
f ´ ( π / 6 ) = a * cos ( o * π / 6 + p ) * o = 0

Soviel zunächst.

Comments

Hier zur Kontrolle meine Lösungen

a = 2
ω = - 3 / 2
φ = 3/4 * π

Answer 2

Hi,
Aus \( f(x)=a \cdot sin(\omega x+\varphi) = a \cdot cos(\omega x+\psi) \) folgt für \(  x=\frac{\pi}{2} \)
$$ (1) \quad \omega \frac{\pi}{2}+\varphi = \pi $$
$$ (2) \quad \omega \frac{\pi}{2}+\psi = \frac{\pi}{2} $$
Und aus \( f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 \) folgt
$$ (3) \quad \omega \frac{\pi}{6}+\varphi = \frac{\pi}{2} $$
$$ (4) \quad \omega \frac{\pi}{6}+\psi = \pi $$
Daraus folgt
$$ \omega = \frac{3}{2} $$
$$ \varphi = \frac{\pi}{4} $$
$$ \psi = \frac{3}{4}\pi $$
Aus der ersten Ableitung der Funktion \( f'(x) \) folgt für \( x = \frac{\pi}{6} \)
$$ \frac{3}{2} \cdot b_1 \cdot cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{3}{2} \cdot b_2 \cdot sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 $$
und daraus \( b_1 = b_2 \)
Aus
$$ 2 = a\cdot sin\left(\omega \cdot \frac{\pi}{6} + \varphi \right)  $$
folgt durch einsetzten von \( \omega \) und \( \varphi \) das \( a = 2 \) gelten muss.
Und aus
$$ 2 = b_1 \cdot sin\left(\omega \cdot \frac{\pi}{6}\right)+b_2 \cdot cos\left(\omega \cdot \frac{\pi}{6}\right) $$ durch einsetzten der entsprechenden Werte das
$$ b = b_1 = b_2 = \sqrt{2} $$ gelten muss.
Damit sind alle Parameter bestimmt.

Comments

Die Amplitude  a = 2  liest man direkt aus dem Graphen ab.

Da eine Viertel Periode offensichtlich  π/2 - π/6  =  π/3  beträgt, ist  ω  =  (2π) / ( (4/3) π )  = 3/2.

Die Funktion ist eine um π/6 nach rechts verschobene Kosinus-Funktion, also  f(x) = 2·cos(1,5·(x-π/6)) = 2·cos(1,5x-π/4)  =  2·sin(1,5x+π/4) ,  da sin und cos um π/2 phasenverschoben sind 

und mit dem Additionstheorem des Sinus schließlich   f(x)  =  2·(sin(1,5x)·cos(π/4) + cos(1,5x)·sin(π/4))  =  √2·(sin(1,5x) + cos(1,5x)), da sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2