Ziele bei goniometrischen Gleichungen können sein:
a) Nur noch eine Winkelfunktion
b) Nur noch ein x
c) x allein auf einer Seite der Gleichung
d) Faktorisieren zu einem Nullprodut möglich?
e) Substitution?
f) Quadratische Gleichung versteckt?
a) sin x = √3 cos x | : cos(x)
sin(x) / cos(x) = √3
tan(x) = √3
Diesen Tangenswert (und die zugehörigen Winkel) solltest du kennen (oder lernen) : Schau in einer Tabelle mit den wichtigsten Tangenswerten. Dort wirst du auch gleich daran erinnert werden, wie du auf die andern Lösungen kommst, die der Taschenrechner nicht direkt anzeigt.
http://www.mathebibel.de/tangens zeigt dir folgende Tabelle:
Also x1 = 60° = π/3 und x2 = 240° = π + π/3 = 4π / 3
b) sin² x + tan x = 0
sin^2(x) + sin(x) / cos(x) = 0 | Faktorisieren
sin(x) ( sin(x) + 1/cos(x)) = 0 | Nullprodukt
sin(x) = 0 ==> x_(n) = nπ , n Element Z.
sin(x) + 1/cos(x) = 0 | Bruchaddition
(sin(x) cos(x) + 1)/cos(x) = 0 | Zähler müsste 0 sein.
sin(x) cos(x) + 1 = 0 | Erinnere dich an sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
1/2 sin(2x) +1 = 0 | x ist nur noch einmal in der Gleichung!
sin(2x) = - 2 | unmöglich, da Sinus nicht unter - 1 kommen kann!
==> Lösungsmenge enthält keine weiteren Elemente.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%C2%B2+x+%2B+tan+x+%3D+0
Reelle Lösungen sind nur L = { nπ | n Element Z }
