Man zeige, dass für 0 < α < π/2 stets gilt sin(α) < α < tan(α) α:=Bogenmaß

Question

Hi,

hab echt probleme mit dieser aufgabe:

man zeige, dass für 0 < α < π/2 stets gilt sin(α) < α < tan(α)    α:=Bogenmaß

danke schonmal im Voraus für gute tips oder lösungvorschläge

Comments

kann es sein, dass man es gar nicht rechnerisch zeigen kann...sondern nur zeichnerisch...weil anhand eines koordinatensystems könnte ich es erklären nur rechnerisch komm ich überhaupt nicht drauf

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Ich würde das auch graphisch am Einheitskreis im 1. Quadranten zeigen (illustrieren).

Answer 1

Es gilt $$\sin(x)=\int\limits_0^x\!\cos(t)\,\mathrm{d}t\leq\int\limits_{0}^{x}\! 1\,\mathrm{d}t=x\leq\int\limits_{0}^{x}\! \frac{1}{\cos^2(t)}\,\mathrm {d} t=\tan(x). $$ Letztere Ungleichung gilt für \(0<x<\frac{\pi}{2}\) und wegen \(\frac{1}{\cos^2(t)}\geq 1\).