Aufgabe:
Ebenen:
\( \left(\left(\begin{array}{l}r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right)=-5 \)
\( \left(\left(\begin{array}{l} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)\right)=-6 \)
Punkt: \( p=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \)
a) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{p} \) auf beiden Ebenen liegt.
b) Bestimmen Sie die Schnittmenge der Ebenen. Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und stellen Sie das Ergebnis in Form einer Geradengleichung dar.
c) Geben sie für beide Ebenen eine Matrixdarstellung an.
Ansatz/Problem:
Meines Wissens nach muss ich die Ebenengleichung aufstellen und dem Punkt gleichsetzen:
\( \left(\begin{array}{c}-3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)= \) Kreuzprodukt \( (r 1, r 2)+x * r 1+y * r 2 \)
Wenn ich dann nach x bzw. y auflöse, kann ich die Ergebnisse wie folgt interpretieren: Wenn mindestens ein x und y bestimmbar sind liegt der Punkt auf der Ebene, sonst nicht.
Ist das soweit richtig?
Wenn ja: Wie gehe ich denn jetzt mit einem unbekannten Vektor (bzw. mit einer unbekannten Koordinatenachse) um? Ich kenne ja nur das Ergebnis des Skalarprodukts, kann aber doch nicht r1, r2 und r3 daraus bestimmen?
