Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms det(v1 w1, v2 w2) ist.

Question

Es seien \( v_{1}, v_{2}, w_{1}, w_{2} \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des von \( v= \) \( \left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right) \) und \( w=\left(\begin{array}{l}w_{1} \\ w_{2}\end{array}\right) \) aufgespannten Parallelogramms \( \left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}v_{1} & w_{1} \\ v_{2} & w_{2}\end{array}\right)\right| \) ist.

Answer 1

Ich würde das auf die klassische Parallelogrammformel  A = |v|*|w|*sin(alpha)

Und mit dem Skalarprodukt hast du ja
v*w = | v | * | w | * cos(alpha)

wenn du beide Gleichungen quadrierst und addierst hast du
A² + (v*w)² = | v |² * | w |² * (cos²(alpha) + sin²(alpha) )
also
A² = | v |² * | w |² - (v*w)² und wenn du hier v1v2w1w2 einsetzt und
aus rechnest gibt das genau  dei Determinante zum Quadrat.

also A = | det |

Comments

Danke für die Antwort.

Wir verstehen leider nur noch nicht wie man  A^2=|v^2| * |v^2| * sin (alpha)^2 mit (v*w)^2= |v^2| * |w^2| * cos(alpha)^2  addieren soll, um auf das Ergebnis zu kommen.

Waere das dann nicht 

A^2+(v*w)^2= 2* |v^2| * 2* |w^2|* (cos alpha^2 + sin alpha^2) ? 

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A²+(v*w)²=|v²| * |w²|* cos^2 (alpha) + |v²| * |w²|*sin^2( alpha)

jetzt |v²| * |w²| ausklammern gibt

                 = =|v²| * |w²|* (cos^2 (alpha) + sin^2( alpha))

und die Klammer ist = 1  (Pythagoras im Einheitskreis)

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ich verstehe nicht wie man dann weiter rechnen soll:
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A² = | v |² * | w |² - (v*w)² und wenn du hier v1v2w1w2 einsetzt und
aus rechnest gibt das genau  dei Determinante zum Quadrat.

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Die wäre doch nach einsetzung ebenfalls:

A² = (v1²  *  w1²  +  v2²   *   w2² ) - (v1*w1 + v2*w2)²

Und dann?

=)