Bestimmen Sie ein t so,dass es eine lineare Abbildung gibt

Question

Bestimmen Sie ein \( t \in \mathbb{R} \) derart, dass es eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) gibt mit

\( f \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \\ t \end{array}\right), f\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \)

und

\( f \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ t \\ -3 \\ -2\end{array}\right) \)

Ist \( f \) eindeutig bestimmt?

Was ist \( f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)?

Answer 1

Es ist o,5*(1,01)+0,5*(1,1,0)+0,5*(0,1,1)=(1,1,1)
wenn f linear ist, muss gelten:

f(o,5*(1,01)+0,5*(1,1,0)+0,5*(0,1,1)) =o,5*f(1,01)+0,5*f(1,1,0)+0,5*f(0,1,1)

also  o,5*f(1,01)+0,5*f(1,1,0)+0,5*f(0,1,1) = f(1,1,1)

diese 4 Bildvektoren f(...) sind ja gegeben. Die setzt du ein und rechnest das t aus.