Es sind \( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) linear unabhängig.
Dann kann man die Bilder vorgeben wie man will,
da gibt es immer eine lineare Abbildung.
Hier bilden \( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) ja sogar eine Basis von ℚ3 dann gibt es genau eine lineare Abbildung, die die Vorgaben erfüllt.
Denn jeder Vektor v aus ℚ3 lässt sich ja in eindeutiger Weise darstellen als
v= \( x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)
Dann ist \( \Phi(v)=\Phi\left(x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
\( =x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+z=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) \)