Question

Gibt es eine lineare Abbildung \( \Phi: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3} \) mit
\( \Phi\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \Phi\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \Phi\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) ? \)

wie fängt man hier an, bzw. was muss man überhaupt machen?

Ich kenne nur 1. Nullvekor einsetzen 2. f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) 3. y* f(x_1 + x_2) = f(y*( x_1 + x_2))

Answer 1

Es sind \( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) linear unabhängig.

Dann kann man die Bilder vorgeben wie man will,

da gibt es immer eine lineare Abbildung.

Hier bilden \( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\) ja sogar eine Basis von ℚ³ dann gibt es genau eine lineare Abbildung, die die Vorgaben erfüllt.

Denn jeder Vektor v aus ℚ³ lässt sich ja in eindeutiger Weise darstellen als

v= \( x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)

Dann ist \( \Phi(v)=\Phi\left(x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)

\( =x\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+z=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)  \)