ich möchte zeigen dass die Funktion:$$ f(x)= \frac{1}{x^2}$$ mit x∈ ℝ\{0} stetig ist.
Dies möchte ich mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums machen.
Ich fange also an:
|x-xo|<δ ⇒ |f(x)-f(xo)|<ε
$$\left| f(x)-f({ x }_{ o } \right| =\left| \frac { 1 }{ x^ 2 } -\frac { 1 }{ { x }_{ o }^ 2 } \right| = $$
$$= \left| \frac { { x }_{ o }^ 2 }{ (x)^ 2*{ x }_{ o }^ 2 } -\frac { x^ 2 }{ { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 } \right| =\frac { \left| { x }_{ o }^ 2-x^ 2 \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } $$
$$= \frac { \left| ({ x }_{ o }+x)*({ x }_{ o }-x) \right| }{ \left| { x }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } = \frac { \left| ({ x }_{ o }+x) \right| *\left| ({ x }_{ o }-x) \right| }{ \left| { x }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| }= \frac { \left| ({ x }_{ o }+x)*\delta \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } $$
$$< \delta *\frac { \left| ({ x }_{ o }+x) \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } < \delta * \left| ({ x }_{ o }+x) \right| < \delta * \left| ({ x }_{ o }) \right| + \left| {x}\right|<\varepsilon $$
Sop jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter wie ich weiter abschätzen kann damit das x verschwindet,damit ich das nach Delta umstellen kann.
Könnte mir jemand da einen Rat geben?
,
Marvin
