Aussagenlogik für (¬ A) ∧ A

Question

Beispiel \( [(A \vee B) \wedge(\neg C) \wedge D] \vee(A \wedge B)=(A \wedge \neg C \wedge D) \vee(B \wedge \neg C \wedge D) \vee(A \wedge B) \)

a) \( \neg(A \vee B \wedge C) \)

b) \( (\neg A \vee B \vee \neg C) \wedge(A \vee C) \),

c) \( A \wedge \neg(A \vee \neg C) \).

Lösung:

\( \begin{array}{l} \text { a) } \neg(A \vee B \wedge C)=\neg(A \vee[B \wedge C])=\neg A \wedge \neg[B \wedge C]=\neg A \wedge(\neg B \vee \neg C)= \\ (\neg A \wedge \neg B) \vee(\neg A \wedge \neg C) \end{array} \)

b) \( (\neg A \vee B \vee \neg C) \wedge(A \vee C) = \textcolor{#F00}{[(\neg A \wedge A) } \vee(\neg A \wedge C) \vee(B \wedge A) \vee(B \wedge C) \vee(\neg C \wedge A) \vee \)

\( \textcolor{#F00}{(\neg C \wedge C)} = {(\neg A \wedge C)} \vee(B \wedge A) \vee {\mathrm{C} \textcolor{#F00}{(B \wedge C)}} \vee (\neg C \wedge A)=(\neg A \wedge C) \vee(B \wedge A) \vee(\neg C \wedge A) \)

denn wenn \( B \wedge C \) wahr ist, ist entweder auch \( (\neg A \wedge C) \) oder \( (A \wedge B) \) wahr.

c) \( A \wedge \neg(A \vee \neg C)=A \wedge\left(\neg A \wedge[C)_{1}=A \wedge \neg A\right. \), und dies ist stets falsch. Damit kann man keine Disjunktive Normalform hinschreiben, sie existiert nur fr erfllbare Formeln.

Wie gehen die rot markierten Aussagen weg? Welcher Rechenschritt wird gemacht?

Comments

Na ja,

(¬ A) ∧ A   ⇔   0 (= falsch).

Answer 1

Eine Antwort hattest du ja schon:     (¬ A) ∧ A   ⇔   0

Du könntest also das (¬ A) ∧ A   durch eine   0  ersetzen und da es insgesamt eine

ODER-Verbindung ist, kann st du eine 0 eben weglassen.

Bei dem (¬ C) ∧ C   ist es natürlich genauso.

und bei dem letzten steht ja B ^ C was einfach weggelassen wird.

Darunter wird eine Erklärung versucht:  Weil in der Oder-Verbindung außer

dem B ^ C noch  ¬ A ∧ C    und auch  A ∧ B vorkommen, meint der Schreiber dieser

Lösung :  wenn   B ^ C wahr ist (also beide sind dann wahr)

ist   entweder ¬ A ∧ C    oder  A ∧ B wahr, egal welchen Wahrheitswert A hat.

denn in einer dieser beiden Terme stehen auf jeden Fall zwei 1en mit und verbunden.

 Bei c) ist es wohl so gemeint  ¬ A ∧ (A  ∧ C)  ist wegen der Assoziat. von "und"

jedenfalls               (   ¬ A ∧ A ) ∧ C     =     0  ∧ C   = 0  

So ist das wohl etwas ausführlicher.