Konvergenz. Zeige: a_(n):= (1-1/n^2))^n hat den Grenzwert 1

Question

Hallo.
Ich soll zeigen,dass die Folge

a_n : $$ (1 -\frac{1}{n^2}) ^n$$ den Grenzwert 1 besitzt.

Dies soll ich per Epsilon-Definition machen.

$$\forall \epsilon >0\quad \exists \quad { n }_{ o }\in N \quad \Longrightarrow \left| { a }_{ n }-1 \right| <\epsilon $$

Also quasi :

$$ |(1 -\frac{1}{n^2}) ^n-1 |<\epsilon$$

Ich könnte den linken Teil nun abschätzen mit < 1  , jedoch bringt mir das was? Ich brauch in der Abschätzung doch weiterhin ein n ,sodass ich n in Abhängigkeit von Epsilon darstellen kann ,oder nicht?

Answer 1

Nur eine Idee:

(1 - 1/n^2)^n = 1 - (n tief 1) * 1/n^2 + (n tief 2)* 1/n^4 - (n tief 3)*(1/n^6) ......

= 1 - n * 1/n^2 + (n tief 2)* 1/n^4 - (n tief 3)*(1/n^6) ......

= 1 - 1/n + (n tief 2)* 1/n^4 - (n tief 3)*(1/n^6) ...... 

und nun 1 subtrahieren und den Rest mit -1/n abschätzen.

Comments

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die Idee mit der Reihenentwicklung finde ich auch gut..

dazu noch ein Vorschlag:

da 
(1 - 1/n²)ⁿ  für alle n aus N kleiner als 1 ist ,

können die Betragsstriche bei | 1 - (1 - 1/n²)ⁿ |  weggelassen werden.

also nicht wie oben vorgeschlagen : " und nun 1 subtrahieren .."

sondern umgekehrt:

von 1 den Term (1 - 1/n²)ⁿ  ..bzw. die Reihe..  subtrahieren

usw..

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Stimmt. Danke. Das ist schlauer. Da kann man den Betrag weglassen.

Answer 2

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Vorschlag:

rechne doch einfach mal aus , was zwischen den Betragszeichen steht

dh- -> ..ausquadrieren,.. zusammenfassen ..
dann siehst du vielleicht selbst ...
usw.

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Comments

Oh, mein Fehler... kann ich die Fragen nicht irgendwie bearbeiten?

Die Folge ist der selbe Klammerausdruck hoch n und nicht hoch 2.

Habe mich vertippt.

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also : nun willst du den Grenzwert für n -> oo von

a_n = (  1 - 1 /n^2 )^n

??

Vorschlag dazu:

 (  1 - 1 /n^2 )^n = [ (1-1/n) * (1+1/n)]^n = (1-1/n)^n *  (1+1/n)^n


nun wird bekanntlich

(1+1/n)^n -> e  ...  für n -> oo

und

(1-1/n)^n -> e^{-1} .. für n -> oo

und - wenig verwunderlich - ist dann   -> e *  e^{-1} = 1

also für n-> oo -> lim a_n = 1

verwende also dies..

ok?

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Ja, dass man das so umformen kann weiß ich. So hätte ich den Grenzwert auch gezeigt und so finde ich das auch einfach.

Aber in der Aufgabe soll ich mit der Epsilon-Definition zeigen,dass der Grenzwert 1 ist. Mit Epsilon bzw. bei Funktionen mit Epsilon-Delta habe ich immer schon so ein paar Probleme gehabt.

Wenn ich in der Epsilon die genannten Abschätzungen mit e und e^-1 benutzen würde, habe ich ja genau das was ich Anfangs geschildert habe( mit <1  abschätzen) . Und dann habe ich aber kein gewünschtes n ,was abhänging von Epsilon ist.

Könnte ich die linke Seite mit 1 Abschätzen und dann mit < 1+n ?

Also das habe ich versucht,jedoch funktioniert das nicht,wenn ich mir dann ein beliebiges Epsilon wähle und das dazugehörige n berechne und diese dann in die Gleichung oben einsetze. Das passt von den Werten nicht.