Ist das Bild vom Kern immer 0?

Question

Hallöle,

habe mal eine Verständnisfrage.

Wenn man eine lineare Abbildung f:A→B hat, dann besteht der Kern ja aus den x∈A, die auf 0 abbilden, also f(x)=0. Das Bild vom Kern ist dann immer gleich 0, oder? Also Bild(Ker(f))=0?

Ist das alles richtig soweit?

Danke

Answer 1

Ja, das ist fast richtig, bis auf eine kleine Subtilität es folgt ja direkt aus der Definition:

 

Für f:A→B und eine Untermenge U⊆A definiert man:

ker(f) := {x∈A| f(x) = 0} als Kern von f und

Im(U) := {y∈B| ∃x∈U: f(x)=y} als Bild von U.

Nun ist aber wichtig, dass beides Mengen sind, nicht einfach nur die Zahl 0.
Das Bild des Kerns ist nämlich eine Menge, die lediglich das Element 0 enthält

 

Im(ker(f)) = {0}

Es ist auch wichtig, diese Menge von der leeren Menge zu unterscheiden!