Seien f,g: ℝ → ℝ differenzierbare Funktionen. Aussage richtig oder falsch?

Question

Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbare Funktionen. Falls \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), so gilt auch \( f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Ist diese Aussage richtig oder falsch?

Answer 1

Es gilt nicht immer.

Ein Gegenbeispiel ist $$g(x)=e^{-x} , f(x)=0$$

$$g(x)=e^{-x} \geq 0 =f(x)$$ aber $$g'(x)=-e^{-x} \leq 0=f'(x)$$

Comments

danke, aber f(x)=0..ich bin mir nicht sicher dass es diff'bar ist...oder?

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Alle konstante Funktionen sind differenzierbar.

Answer 2

Was soll die Aussage denn besagen? Sind zwei Funktionen diffbar. g ist größer gleich f. So soll auch die Steigung von g größer gleich  Steigung von f sein.
Schau dir mal die Funktion sin(x) und die Funktion g(x) = 3 an.

Comments

ja, habe schon so gedacht aber sin (x) ist nicht auf R--R definiert

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Warum soll denn sin(x) nicht auf ganz R definiert sein?

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oops, sorry, ich habe es mit Wertebereich -1,1 verwechselt. du hast recht . danke