Abstand Punkt-Gerade und Punkt-Ebene

Question

Ich stecke gerade mitten in meiner Abiturvorbereitung und mir haben sich gerade 2 Frage aufgetan

1. Wie bestimme ich den Abstand zwischen Punkt und Gerade und 2. zwischen Punkt und Ebene

 

Ich habe mir schon die Finger wund gegoogelt, aber überall kommen nur Lösungen mit irgendwelchen komischen Ebenenformen, die wir nie so behandelt haben.

 

Ich schreibe mal meine Ideen auf und bin dankbar für jeden Tip:

Abstand Punkt-Gerade:

gegeben: Punkt P und Gerade g in Parameterform

1. Suchen eines Vektors, der senkrecht zum Richtungsvektor von g ist, indem man das Skalarprodukt (=0)bildet

2. Bestimmen einer Gerade d, die den Ortsvektor von P als Stützvektor hat und den senkrechten Vektor (den ich in Schritt eins bestimmt habe) als Richtungsvektor

3. Schnittpunkt von g mit d errechnen

4. Abstand Schnittpunkt zu Punkt P ist gleich der Abstand von Punkt zu  Gerade

 

Selbiges Verfahren würde ich zur Abstandsbestimmung Punkt - Ebene anwenden.

 

Aber irgenwo muss ein Denkfehler sein, denn mit diesem Verfahren komme ich definitiv nicht zum gewünschten Ergebnis?

Answer 1

Abstand Punkt Gerade

Ich nehme mal an ich habe eine Gerade durch A und B und einen Punkt C.

Damit habe ich die Richtungsvektoren AB (Richtungsvektor der Geraden) und AC (Richtungsvektor von einem Punkt der Geraden zum Punkt C).

Der Betrag des Kreuzproduktes dieser Richtungsvektoren ist die Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Da der Abstand von C zur Geraden die Höhe des Parallelogramms ist muss ich die Fläche des Parallelogramms einfach durch die Grundseite teilen.

Abstand d(AB, C) = |AB x AC| / |AB|

Leider ist kaum jemand in der Lage diesen einfachen Sachverhalt so einfach zu erklären, sodass sich die armen Schüler oft echt tot rechnen müssen.

Comments

Abstand Punkt Ebene

Ich habe einen Punkt P und die Ebenengleichung in Koordinatenform

E: n * x = d

Aus der Ebenengleichung mache ich die Abstandsformel

d(E, x) = (n * x - d) / |n|

Hier setze ich einfach nur P ein und rechne aus

d(E, P) = (n * P - d) / |n|

Probier das einfach mal an ein paar Beispielen.

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Zu deiner Vorgehensweise

1. Suchen eines Vektors, der senkrecht zum Richtungsvektor von g ist, indem man das Skalarprodukt (=0) bildet

Ungünstigerweise gibt es unendlich viele senkrechte Richtungsvektoren zu g. Wir bräuchten aber einen speziellen, der durch die Gerade und unseren Punkt geht. 

Wenn man es also einfach haben will rechnet man wie ich es oben angegeben habe.

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Ok..also ist meine idee komplett unbrauchbar? Das mit dem Kreuzprodukt haben wir nie gemacht... Danke für die Antwort

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Dann könntest Du eine Hilfebene aufstellen die Senkrecht zu AB ist und durch den Punkt C geht

x * AB = C * AB

Hier können wir für x jetzt die Geradengleichung einsetzen

x = A + r * AB
(A + r * AB) * AB = C * AB
A * AB + r * AB^2 = C * AB
r * AB^2 = C * AB - A * AB
r = (C - A) * AB / AB^2

Wenn Du r hast, kannst du den Schnittpunkt über die Geradengleichung bestimmen und dann den Abstand vom Schnittpunkt zum Punkt bilden.

Aber wie gesagt wäre meine Rechnung mit dem Kreuzprodukt etwas einfacher.