Bestimmen sie eine Basis von ker v und geben sie eine geometrische Interpretation des Kerns an

Question

Aufgabe:

Wir bezeichnen mit \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standardskalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{3} . \) Es sei U die von \( u=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \) und \( v=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) \) aufgespannte Ebene. Wir definieren \( \psi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch \( \psi(x):=\frac{\langle u, x\}}{\langle u, u\rangle} u+\frac{\langle v, x\rangle}{(v, v\rangle} v . \) Zeigen Sie:

a) \( \psi \) ist eine lineare Abbildung

b) \( \left.\psi\right|_{U}=i d_{U} \)

c) \( \psi^{2}=\psi \)

Bestimmen Sie eine Basis von ker \( \psi \) und geben Sie eine geometrische Interpretation des Kerns.

Answer 1

Also zu 1. :

Nehme dir einen Vektor x = (x₁,x₂,x₃₎  . Und setze  x ,u und v  doch einfach mal in deine Funktion ein.

Vereinfache dann so gut es geht . Um zu zeigen, dass eine Lineare Abbildung vorhanden ist muss gelten:

1. f(ax) = a(fx)

2. f(x+y)= f(x)+f(y)

und zwar  für alle x,y ∈ R³ und a ∈ R

Die beiden Sachen müsstest du relativ einfach zeigen können.

Das habe ich schonmal gepostet.

Wäre doch mal gut,wenn du sagen würdest, wo du Probleme hast oder was du nicht verstehst. Hast du dich erkundigt wie man eine Basis bestimmt?