Hilfe zu Ableitung von Wurzeln und nach X auflösen.

Question

leider komme ich bei der Ableitung nicht weiter, bzw. bin mir unsicher, ob ich richtig gerechnet habe. Ich hoffe einer von euch kann es mir sagen.

Hilfe bei Wurzel Ableitung:

f(x) =(Wurzel (x+2))*x

f'(x) = -1/2x * (x+2)^{-1/2}*1

Außerdem wäre es cool wenn einer von euch mir bei dieser Aufgabe helfen könnte:

Hierbei soll ich nach X auflösen.

8^{7x+9} = 2^{3x+6}  soweit ich weiß muss irgendwie die Basis gleich gemacht werden, aber da hapert es leider schon.

Vielen Dank Maximilian

Comments

Hi,

sieht deine Funktion so aus?

$$f(x)= \sqrt { x+2 }\cdot x $$

Answer 1

Hi,

Produktregel verwenden:

$$f(x) = \sqrt{x+2}\cdot x$$

$$f'(x) = (\sqrt{x+2})' \cdot x + \sqrt{x+2} \cdot (x)'$$

$$f'(x) = \frac{x}{2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+2}$$

Das nun auf einen Nenner gebracht, also mit \(2\sqrt{x+2}\) erweitert:

$$f'(x) = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$$

Für letzteres:

$$8^{7x+9} = 2^{3x+6}$$

$$(2^{3})^{7x+9} = 2^{3x+6}$$

$$2^{21x+27} = 2^{3x+6}$$

Vergleich der Exponenten:

$$21x+27 = 3x+6$$

$$18x = -21$$

$$x = -\frac{21}{18}$$

$$x = -\frac76$$

Alternativ hier auch schneller:

$$2^{3x+6} = 2^{3(x+2)} = 8^{x+2}$$

Dann wieder vergleichen etc.

Grüße

Comments

Danke für deine Antwort. 

Wieso muss ich denn bei 8^{7x+9}  die 2^{3} hinschreiben?

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Eine Pflich besteht nicht. Es vereinfacht Dir aber die Arbeit^^.

Hast Du die gleiche Basis (hier 2 bzw. 8, je nachdem welchen Weg Du gehst), kannst Du einfach die Exponenten vergleichen.

Tust Du das nicht, musst Du umständlich(er) mit dem Logarithmus arbeiten.

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Punk noch eine Frage, müsste ich die Produktregel auch anwenden, wenn die Aufgabe:

2 (Wurzel(x+2) wäre, oder wäre es dann die Kettenregel?

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Richtig, dann brauchst Du keine Produktregel, sondern die Kettenregel reicht aus (und die verwendet man intuitiv :P) ;).

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Was hat es denn mit dem Nenner erweitern auf sich? Und wieso kommt das x in den Zähler ?

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Das x kommt in Zähler, weil es da schon immer war :P.

Hatten ja

$$(\sqrt{x+2})'\cdot \color{red}x$$

Du möchtest das Ergebnis meist so einfach wie möglich vorliegen haben. Hier bietet es sich an die zwei Summanden zu einem Bruch zusammenzuschreiben. Wie das funktioniert und was rauskommt hatte ich erwähnt. Versuch es selbst ;).

Answer 2

Hallo Maximilian!!!

Es ist folgendermaßen:

$$f'(x)=(x)' \sqrt{x+2}+x (\sqrt{x+2})'=\sqrt{x+2}+ \frac{x}{2 \sqrt{x+2}}$$


Für deine zweite Frage, benutzen wir folgendes: $$8=2^3$$


$$8^{7x+9}=2^{3x+6} \Rightarrow 2^{3 \cdot (7x+9)}=2^{3x+6} \Rightarrow \log_2{2^{3 \cdot (7x+9)}}=\log_2{2^{3x+6}} \Rightarrow 3(7x+9)=3x+6 \Rightarrow 21x+27=3x+6 \Rightarrow 18x=-21 \Rightarrow x=\frac{-21}{18}$$

Comments

Warum wird das x denn in den Zähler genommen?

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Wo genau meinst du? Bei der Berechnung von f'(x) ?

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Ja genau bei f'(x)

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$$f(x)=x \sqrt{x+2}$$

Da es das Produkt zweier Funktionen ist, benutzen wir folgendes:

$$f(x)=g(x) \cdot h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$

Also haben wir folgendes:

$$f'(x)=(x)' \sqrt{x+2}+x(\sqrt{x+2})'=1 \cdot \sqrt{x+2}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \\ \Rightarrow f'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2 \sqrt{x+2}}$$

Wenn es noch Unklarheiten gibt, lass es mich wissen, sodass ich es analytischer schreibe.

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Aaah okay und das x wird dazu multipliziert. Wie wäre es denn, wenn es an Stelle vom x ein 2x wäre?

Wäre dann im Zähler ein 2x?

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Ja, genau.

$$2x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+2}}=\frac{2x}{2 \sqrt{x+2}}$$

Es gilt folgendes:

$$f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}$$

oder allgemein

$$f(x) \cdot \frac{h(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x)}$$

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Vielen Dank für deine Mühe und sehr guten Erklärungen.

Vielleicht kannst du mir nochmal helfen, wie würde ich die Aufgabe  8^{7x+9} = 2^{3x+6} mit dem Logarithmus rechnen?

Irgendwie meine ich, dass man dabei ln() verwenden muss?

Stimmt das so? Und wie sehe die Rechnung aus?

Answer 3

f(x) = √(x + 2)·x = (x + 2)^{1/2}·x

f'(x) = 1/2·(x + 2)^{-1/2}·x + (x + 2)^{1/2}·1 = (3·x + 4)/(2·√(x + 2))

Comments

8^{7·x + 9} = 2^{3·x + 6}

2^{21·x + 27} = 2^{3·x + 6}

21·x + 27 = 3·x + 6

18·x + 21 = -21

x = -21/18 = -7/6

Answer 4

8^{7x+9} = 2^{3x+6}

8^{7x+9} = 2^{3*(x+2)}

8^{7x+9} = (2^3)^{x+2}

8^{7x+9} = 8^{x+2}

7x+9 = x+2

...

Answer 5

(Wurzel (x+2))*2x
=  (x+1) ^{0,5} * 2x
= (x+1) ^{0,5} * 2  +  0,5* (x+1) ^{-0,5} * 2x