Gebrochenrationale Funktion f(x) = (2-x^2) / (x^2-9)

Question

Hallo und nachträglich noch allen ein Frohes Neues Jahr

Allerdings habe ich auch gleich im neuen Jahr ein Problem mit gebrochen-rationalen Funktionen

Aufgabe: f(x) = 2 - x²  / x² - 9

Erste Ableitung habe ich f ' (x) = 14x / x⁴ -18² + 81

Wie ich die Schnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte raus bekomme weiß ich, aber ich hänge bei der weiteren Ableitung für f ''(x) und f '''(x) sowie beim Verhalten im Unendlichen durch Angabe der Asymptote..wenn mir hier jemand helfen könnte, würde ich den Rest allein packen

Vielen Dank

LG

Answer 1

Hi Nadine,

für die weiteren Ableitung nutze weiterhin die Quotientenregel.

f'(x) = 14x/(x^2-9)^2

f''(x) = -(42x^2+126) / (x^2-9)^3

f'''(x) = (16x^3+1512x) / (x^2-9)^4

Das Verhalten im Unendlichen ist relativ einfach. Der Zählergrad und der Nennergrad entsprechen sich, deswegen ist nur der Vorfaktor zu betrachten. Der ist -1. Für x -> ±∞ haben wir also ein Streben gegen -1, sprich die waagerechte Asymptote y = -1.

Ansonsten auch über Polynomdivision zu erledigen ;).

Grüße

Comments

ich acker mich noch mal durch das Thema Asymptote denn im Unendlichen versteh ich grad Bahnhof oder ich sitz auf dem Schlauch

waagerechte Asymptote ist doch Zählergrad < Nennergrad bzw. Zählergrad gleich Nennergrad

hier also Zählergrad gleich Nennergrad und damit y= -x / x  = (-1) aber wo bring ich da das Unendliche ein??

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Nich -x/x, sondern dann eher -x²/x² = -1. Du schaust Dir also nur die höchste Potenz an.

Sauber sieht das so aus:

$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{-x^2+2}{x^2-9} = \lim \frac{-1+\frac{2}{x^2}}{1 - \frac{9}{x^2}}$$

So ist in der Grenzwertbetrachtung also der jeweils hintere Summand gegen 0 und wir haben insgesamt -1 über. Das schreibt man meist aber nicht, da man obige "Rechnung" meist im Kopf kann ;). Eben durch die con Dir schon halb vorgestellte Rechnung.

Answer 2

Hier die Ableitungen. Bitte nur immer den Zähler ausmultiplizieren und Zusammenfassen. Der Nenner wird nie ausmultipliziert.

f(x) = (2 - x^2)/(x^2 - 9)

f'(x) = 14·x/(x^2 - 9)^2

f''(x) = 42·(x^2 + 3)/(9 - x^2)^3

f''(x) = 168·x·(x^2 + 9)/(x^2 - 9)^4

Zum Verhalten im Unendlichen mach eine Polynomdivision

(2 - x^2)/(x^2 - 9) = - 1 - 7/(x^2 - 9)

Hier kann man jetzt die Asymptone mit y = -1 ablesen.