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$$ { z }^{ 5 }-{ z }^{ 4 }{ +z }^{ 2 }{ -z }=0\\ Lösung\\ z1=0\\ z2=1\\ z3=0,5(1+\sqrt { 3i } )\\ z4=-1\\ z5=0,5(1-\sqrt { 3i }  $$

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z^5 - z^4 +z^2 -z =0

z(z^4 - z^3 + z - 1) = 0

z(z^3(z-1) + 1*(z-1)) = 

z(z^3 + 1)(z-1) = 0

z1 = 0

z2 = 1

z3, z4,z5: Lösungen von z^3 = - 1

z3 = -1      

z4 = e^{πi/3}

z5 = e^{-πi/3} 

z4  und z5 noch von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Avatar von 162 k 🚀
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ja, das kann ich bestätigen.


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Ich gehe mal davon aus, dass der Fragesteller nicht wissen wollte, ob die Musterlösung korrekt ist, sondern vielmehr, wie man dazu kommen könnte:

$$ z^5−z^4+z^2−z=0 $$
$$ z(z^4−z^3+z−1)=0 $$
woraus folgt, dass z_1=0
$$ z^4−z^3+z−1=0 $$
hier bietet sich "probieren" mit dem absoluten Glied an:
$$ 1^4−1^3+1−1=0 $$

$$z_2 =1$$
und anschliessende Polynomdivision durch den Linearfaktor
$$ (z^4−z^3+z−1)/(x-1)= \cdots $$
um somit schrittweise die höchste Potenz zu reduzieren.

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Ich gehe mal davon aus, dass der Fragesteller nicht wissen wollte, ob die Musterlösung korrekt ist, sondern vielmehr, wie man dazu kommen könnte:

*Hust* Ich auch. Aber ich befürchte der wahre Grund wurde mir viel zu eloquent verpackt. Bei so viel Text kann die wahre Natur der Frage durchaus mal unter den Tisch fallen...

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