Grenzwert berechnen mit Wurzeln: s_(n) = n(√(n^4 + 1) - n^2)/(√(n^2 + n) - n)

Question

Grenzwert berechnen mit Wurzeln:

\( s_{n}=\frac{n\left(\sqrt{n^{4}+1}-n^{2}\right)}{\sqrt{n^{2}+n}-n} \)

\( =\frac{n \sqrt{n^{4}+1}}{\sqrt{n^{2}+n}-n}-\frac{n^{3}}{\sqrt{n^{2}+n}-n}=\frac{\frac{1}{n} \sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}{\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}-\frac{1}{n^{3}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}}-\frac{1}{n^{5}}}=? \)

Da ich keine Lösungen zu dieser Aufgabe habe, würde gerne wissen, wie ich bei dieser Aufgabe weiter vorgehen soll?

Ich habe im linken Bruch alles durch die hoechste Potenz n^2 geteilt und im rechten durch n^3, kann ich nun irgendwie diese Wurzeln loswerden?

Answer 1

Erweitere schon zu Beginn mit (√(n^2 +n)  + n)     ---> 3. Binom in Nenner vereinfachen.

Du musst ja "unendlich minus unendlich" loswerden. "0-0" ist auch nicht geeignet.

Comments

Ich habe deinen Ratschlag nun befolgt und mal versucht weiterzumachen, ist das nun das richtige Ergebnis? Bei Wolframalpha kommt leider kein Grenzwert raus.

\( s_{n}=\frac{n\left(\sqrt{n^{4}+1}-n^{2}\right)}{\sqrt{n^{2}+n}-n} \)
\( =\frac{n\left(\sqrt{n^{4}+1}-n^{2}\right)\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}{n^{2}+n-n} \)
\( =\frac{\left(\sqrt{n^{4}+1}-n^{2}\right)\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}{n} \)
\( =\frac{\sqrt{n^{4}+1} \sqrt{n^{2}+n}+n \sqrt{n^{4}+1}-n^{2} \sqrt{n^{2}+n}-n^{3}}{n} \)
\( =\frac{n^{6}+n^{5}+n^{2}+n+n \sqrt{n^{4}+1}-n^{2} \sqrt{n^{2}+n}-n^{3}}{n} \)
\( =\frac{n\left(n^{5}+n^{4}+n+1+\sqrt{n^{4}+1}-n \sqrt{n^{2}+n}-n^{2}\right)}{n} \)
\( =n^{5}+n^{4}+n+1+\sqrt{n^{4}+1}-\sqrt{n^{4}+n^{3}}-n^{2} \)
\( =1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}+\sqrt{\frac{1}{n^{6}}+\frac{1}{n^{10}}}-\sqrt{\frac{1}{n^{6}}+\frac{1}{n^{7}}}-\frac{1}{n^{3}} \)
\( =1+0+0+0+\sqrt{0+0}-\sqrt{0+0}-0=1 \)

---

in deiner 2. Zeile sollte unten

n^2 + n - n^2 stehen.

In der 5. Zeile sollten die ersten 4 Summanden noch unter einer Wurzel stehen.

Erweitere aber nachher vielleicht besser noch mit (√(n^4 + 1) + n^2), bevor du ausmultiplizierst. (Das n ist ja unten weg und du hast gar keinen Bruch mehr vor dir.