Grenzwert von lim x -> -1 von (x^8-1) / (x+1)

Question

kann mir jemand den Grenzwert von

lim x -> -1 von (x⁸ - 1) / (x + 1)

Existiert hier ein Grenzwert oder gibt es keinen?

Meine zweite frage wäre noch, wenn man folgendes betrachtet:

lim x -> - ∞ von ( e^{-x^2} ) also ( e hoch minus x² )

Ist der Grenzwert hier Unendlich?

Wie kann man das Beweisen?

Answer 1

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^8-1}{x+1}=\frac{0}{0}$$

Wenn wir den De L'Hospital anwenden, haben wir:

$$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{8x^7}{1}=-8$$

$$\lim_{x \rightarrow - \infty} e^{-x^2}=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{e^{x^2}}=\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0$$

Answer 2

lim x -> -1 von (x⁸ - 1) / (x + 1)

L'Hospital

lim x -> -1 von (8x^7) / (1) = -8

Comments

lim x -> - ∞ von ( e^-x2 ) = 0

x^2 --> ∞

-x^2 --> -∞

e^{-x²} --> 0

Answer 3

$$ \lim_{x \to -1} \frac{x^8-1}{x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{ \left(x^4+1\right) \cdot \left(x^2+1\right) \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(x+1\right) }{x+1}\\\, \\ = \lim_{x \to -1} \left( \left(x^4+1\right) \cdot \left(x^2+1\right) \cdot \left(x-1\right) \right) = -8.$$

(dritte binomische Formel)